Question

已知函数f(log2x)=x2+2x．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（II）若方程f（x）=a•2^x-4在（0，2）有两个不相等的实根，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用“换元法”，设t=log₂x，t∈R，则x=2^t．代入原式即可得出；
（2）方程f（x）=a•2^x-4在（0，2）有两个不相等的实根?2^2x+（2-a）•2^x+4=0，在（0，2）有两个不等实根，令2^x=m，h（m）=m²+（2-a）m+4，m∈（1，4）可得

△＞0 h(1)＞0，h(4)＞0 1＜ a-2 2 ＜4

解出即可．

解答：解：（1）设t=log₂x，t∈R，则x=2^t．
∵函数f(log2x)=x2+2x．
∴f（t）=2^2t+2•2^t
∴把t换成x可得：f（x）=2^2x+2•2^x
（2）方程f（x）=a•2^x-4在（0，2）有两个不相等的实根?2^2x+（2-a）•2^x+4=0，在（0，2）有两个不等实根，
令2^x=m，h（m）=m²+（2-a）m+4，
∵x∈（0，2），∴m∈（1，4）．
∴函数h（m）在（1，4）上有两个不等实数根，
必有

△=(2-a)2-16＞0 h(1)=1+(2-a)+4＞0 h(4)=16+4(2-a)+4＞0 1＜ a-2 2 ＜4

，解得6＜a＜7．
∴实数a的取值范围是（6，7）．

点评：本题考查了指数式与对数式的相互转化及其性质、二次函数的性质、“换元法”等基础知识与基本方法，属于基础题．