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设f(x)=log 
1
2
1-ax
x-1
(a为常数)的图象关于原点对称
(1)求a的值;
(2)判断函数f(x)在区间(1,+∞)的单调性并证明;
(3)若对于区间[3,4]上的每一个x的值,f(x)>(
1
2
x+m恒成立,求实数m的取值范围.
分析:(1)由题意可得,f(x)为奇函数,故有 f(-x)=-f(x),即 log
1
2
1+ax
-x-1
=-log
1
2
1-ax
x-1
,化简可得
1+ax
-x-1
=
x-1
1-ax
,由此解得a的值.
(2)由(1)可得f(x)=log 
1
2
x+1
x-1
,令 g(x)=
x+1
x-1
=1+
2
x-1
,由于
2
x-1
在 区间(1,+∞)内单调递减,可得函数g(x)在区间(1,+∞)内
单调递减,从而得到函数f(x)=log 
1
2
x+1
x-1
在区间(1,+∞)内单调递增.
(3)令h(x)=f(x)-(
1
2
)
x
,则由(2)得h(x)在[3,4]上单调递增,故g(x)的最小值为g(3),运算求得结果.
解答:解:(1)由题意可得,f(x)为奇函数,故有 f(-x)=-f(x),即 log
1
2
1+ax
-x-1
=-log
1
2
1-ax
x-1

log
1
2
1+ax
-x-1
=log
1
2
x-1
1-ax
,∴
1+ax
-x-1
=
x-1
1-ax
,解得a=±1.   …(3分)
经检验,当a=1时不合条件,故a=-1. …(4分)
(2)由(1)可得f(x)=log 
1
2
 
x+1
x-1
,函数在区间(1,+∞)内单调递增.…(10分)
证明:令g(x)=
x+1
x-1
=1+
2
x-1
,由于
2
x-1
在 区间(1,+∞)内单调递减,
故函数g(x)在区间(1,+∞)内单调递减,故函数f(x)=log 
1
2
x+1
x-1
在区间(1,+∞)内单调递增.
(3)令h(x)=f(x)-(
1
2
)
x
,则由(2)得h(x)在[3,4]上单调递增,…(12分)
故g(x)的最小值为g(3)=-
9
8
. …(14分)
 m<-
9
8
.…(16分)
点评:本题主要考查函数的奇偶性和单调性,汗水肚饿恒成立问题,求函数的值域,属于中档题.
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设f(x)=log 
1
2
 
1-bx
x-1
为奇函数,b为常数.
(1)求b的值;
(2)求f(2)+f(3)+…+f(9)+f(10)的值;
(3)若对于区间[3,4]上的每一个x的值,不等式f(x)>(
1
2
x+m恒成立,求实数m的取值范围.

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(Ⅰ)求a的值;

(Ⅱ)证明f(x)在(1,+∞)内单调递增;

(Ⅲ)若对于[3,4]上的每一个的值,不等式恒成立,求实数的取值范围.

 

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(1)求b的值;
(2)求f(2)+f(3)+…+f(9)+f(10)的值;
(3)若对于区间[3,4]上的每一个x的值,不等式f(x)>(数学公式x+m恒成立,求实数m的取值范围.

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设f(x)=log为奇函数,b为常数.
(1)求b的值;
(2)求f(2)+f(3)+…+f(9)+f(10)的值;
(3)若对于区间[3,4]上的每一个x的值,不等式f(x)>(x+m恒成立,求实数m的取值范围.

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