Question

10．设α，β∈（0，$\frac{π}{2}$），且tanα=$\frac{1+sinβ}{cosβ}$，求证：2α-β=$\frac{π}{2}$．

Answer 1

分析 由条件可得sinαcosβ=cosα+cosβsinβ，即sin（α-β）=cosα=sin（$\frac{π}{2}$-α），故有α-β=$\frac{π}{2}$-α，由此可得结论．

解答 解：α，β∈（0，$\frac{π}{2}$），且tanα=$\frac{1+sinβ}{cosβ}$，∴$\frac{sinα}{cosα}$=$\frac{1+sinβ}{cosβ}$，∴sinαcosβ=cosα+cosβsinβ，
∴sin（α-β）=cosα=sin（$\frac{π}{2}$-α）．
再根据α-β∈（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$），$\frac{π}{2}$-α∈（0，$\frac{π}{2}$），
可得 α-β=$\frac{π}{2}$-α，∴2α-β=$\frac{π}{2}$成立．

点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角差的正弦公式、诱导公式的应用，属于基础题．