Question

1．已知sin²A-cos²A=$\frac{1}{2}$，a，b，c为三角形的三边，比较c+b与2a的大小．

Answer 1

分析 利用sin²A-cos²A=$\frac{1}{2}$，求出A，分类讨论，利用余弦定理，化角为边，即可得到结论．

解答 解：由题设sin²A-cos²A=$\frac{1}{2}$，可得cos2A=-$\frac{1}{2}$，
又0＜2A＜2π，所以2A=$\frac{2π}{3}$或$\frac{4π}{3}$，
所以A=$\frac{π}{3}$或A=$\frac{2π}{3}$，
（1）当A=$\frac{π}{3}$时，由余弦定理得a²=b²+c²-ac，
因为4a²-（b+c）²=4（b²+c²-bc）-（b²+c²+2bc）=3（b-c）²≥0
所以b+c≤2a（当a=b=c时取等号）                     
（2）当A=$\frac{2π}{3}$，由余弦定理得a²=b²+c²+ac，
因为4a²-（b+c）²=4（b²+c²+bc）-（b²+c²+2bc）=3b²+3c²+2bc＞0
所以b+c＜2a．
综上，当△ABC为等边三角形时，b+c=2a；当△ABC为非等边三角形时，b+c＜2a．

点评 本题考查余弦定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．