Question

如图，已知椭圆长轴|A₁A₂|=6，焦距|F₁F₂|=4

2

，过椭圆焦点F₁作一直线，交椭圆于两点M，N，设∠F₂F₁M=α（0≤α＜π）当α取什么值时，|MN|等于椭圆短轴的长？

Answer 1

分析：解一：以椭圆焦点F₁为极点，以F₁为起点并过F₂的射线为极轴建立极坐标系，由已知条件可知椭圆的极坐标方程为ρ=

ep

1-ecosθ

=

1

3-2 2 cosθ

∴|F1M|=ρ1=

1

3-2 2 cosα

．|F2N|=ρ2=

1

3+2 2 cosα

，
|MN|=ρ1+ρ2=

6

9-8cos2α

=2.据此能够求出α的取值．

解二：以椭圆的中心为原点，F₁F₂所在直线为x轴建立直角坐标系（如图）由已知条件知，椭圆的方程为

x2

9

+y2=1.MN所在直线方程为y=k(x+2

2

)（其中k=tanα），联立方程组后由题设条件能够推导出α的取值．

解三：建立坐标系得椭圆方程为

x2

9

+y2=1.MN所在直线的参数方程为{x=-2

2

+tcosα，y=tsinα（t是参数）代入椭圆方程得(cos2α+9sin2α)t2-(4

2

cosα)t-1=0.设t₁，t₂是方程两根，则由韦达定理结合题设条件能够推陈出新导出α的取值．

解四：设|F₁M|=x，则|F₂M|=6-x|F₁F₂|=4

2

，∠F₂F₁M=α，在△MF₁F₂中由余弦定理结合题设条件能够推陈出新导出α的取值．

解答：解：法一：以椭圆焦点F₁为极点，
以F₁为起点并过F₂的射线为极轴建立极坐标系
由已知条件可知椭圆长半轴a=3，
半焦距c=2

2

，短半轴b=1，
离心率e=

2 2

3

，中心到准线距离=

9 2

4

，
焦点到准线距离p=

2

4

．
椭圆的极坐标方程为ρ=

ep

1-ecosθ

=

1

3-2 2 cosθ

∴|F1M|=ρ1=

1

3-2 2 cosα

．|F2N|=ρ2=

1

3+2 2 cosα

，
|MN|=ρ1+ρ2=

6

9-8cos2α

=2．
解得cosα=±

2

2

．∴α=

π

6

或α=

5π

6

．
以上解方程过程中的每一步都是可逆的，
所以当α=

π

6

或α=

5π

6

时，|MN|等于短轴的长．

法二：以椭圆的中心为原点，
F₁F₂所在直线为x轴建立直角坐标系（如图）由已知条件知，椭圆的方程为

x2

9

+y2=1．
MN所在直线方程为y=k(x+2

2

)（其中k=tanα）
解方程组

x2 9 +y2=1 y=k(x+2 2 )

．
消去y得(1+9k2)x2+36

2

k2x+9(8k2-1)=0.|MN|=

(x1-x2)2+(y1-y2)2

=

36(1+k2)+36k2(1+k2) (1+9k2)2

=

6+6k2

1+9k2

=

6+6tan2α

1+9tan2α

=

6(1+tan2α)

9(1+tan2α)-8

=

6

9-8cos2α

=2，解得cosα=±

2

2

．∴α=

π

6

或α=

5π

6

．
所以当α=

π

6

或α=

5π

6

时，|MN|等于短轴的长

法三：建立坐标系得椭圆方程为

x2

9

+y2=1．
MN所在直线的参数方程为

x=-2 2 +tcosα y=tsinα

（t是参数）
代入椭圆方程得(cos2α+9sin2α)t2-(4

2

cosα)t-1=0．
设t₁，t₂是方程两根，则由韦达定理，
t1+t2=

4 2 cosα

cos2α+9sin2α

，t1t2=

-1

cos2α+9sin2α

．
|MN|=|t1-t2|=

(t1+t2)2-4t1t2

=

6

cos2α+9sin2α

．=

6

9-8cos2α

=2，
解得cosα=±

2

2

．∴α=

π

6

或α=

5π

6

．
所以当α=

π

6

或α=

5π

6

时，|MN|等于短轴的长

法四：设|F₁M|=x，则|F₂M|=6-x
|F₁F₂|=4

2

，∠F₂F₁M=α
在△MF₁F₂中由余弦定理得
(6-x)2=x2+(4

2

)2-8

2

xcosα，
2

2

xcosα-3x+1=0x=

1

3-2 2 cosα

同理，设|F₁N|=y，则|F₂N|=6-y在△F₁F₂N中，由余弦定理得
(6-y)2=y2+(4

2

)2-8

2

ycos(π-α)．
3y+2

2

ycosα=1，y=

1

3+2 2 cosα

，
|MN|=

1

3-2 2 cosα

+

1

3+2 2 cosα

=

6

9-8cos2α

=2，解得cosα=±

2

2

．
∴α=

π

6

或α=

5π

6

．
所以当α=

π

6

或α=

5π

6

时，|MN|等于短轴的长．

点评：一题多解能够有首席地提高我们的解题能力，不时练习时要多尝试一题多解．