Question

如图，已知椭圆长轴|A₁A₂|=6，焦距|F₁F₂|=，过椭圆焦点F₁作一直线，交椭圆于两点M，N，设∠F₂F₁M=α（0≤α＜π）当α取什么值时，|MN|等于椭圆短轴的长？

Answer 1

【答案】分析：解一：以椭圆焦点F₁为极点，以F₁为起点并过F₂的射线为极轴建立极坐标系，由已知条件可知椭圆的极坐标方程为∴，
据此能够求出α的取值．

解二：以椭圆的中心为原点，F₁F₂所在直线为x轴建立直角坐标系（如图）由已知条件知，椭圆的方程为MN所在直线方程为（其中k=tanα），联立方程组后由题设条件能够推导出α的取值．

解三：建立坐标系得椭圆方程为MN所在直线的参数方程为，y=tsinα（t是参数）代入椭圆方程得设t₁，t₂是方程两根，则由韦达定理结合题设条件能够推陈出新导出α的取值．

解四：设|F₁M|=x，则|F₂M|=6-x|F₁F₂|=，∠F₂F₁M=α，在△MF₁F₂中由余弦定理结合题设条件能够推陈出新导出α的取值．
解答：解：法一：以椭圆焦点F₁为极点，
以F₁为起点并过F₂的射线为极轴建立极坐标系
由已知条件可知椭圆长半轴a=3，
半焦距c=，短半轴b=1，
离心率e=，中心到准线距离=，
焦点到准线距离p=．
椭圆的极坐标方程为
∴，
．
解得．∴或．
以上解方程过程中的每一步都是可逆的，
所以当或时，|MN|等于短轴的长．

法二：以椭圆的中心为原点，
F₁F₂所在直线为x轴建立直角坐标系（如图）由已知条件知，椭圆的方程为．
MN所在直线方程为（其中k=tanα）
解方程组．
消去y得.=
=，解得．∴或．
所以当或时，|MN|等于短轴的长

法三：建立坐标系得椭圆方程为．
MN所在直线的参数方程为（t是参数）
代入椭圆方程得．
设t₁，t₂是方程两根，则由韦达定理，
．
．=，
解得．∴或．
所以当或时，|MN|等于短轴的长

法四：设|F₁M|=x，则|F₂M|=6-x
|F₁F₂|=，∠F₂F₁M=α
在△MF₁F₂中由余弦定理得
，

同理，设|F₁N|=y，则|F₂N|=6-y在△F₁F₂N中，由余弦定理得
．
，
=2，解得．
∴或．
所以当或时，|MN|等于短轴的长．
点评：一题多解能够有首席地提高我们的解题能力，不时练习时要多尝试一题多解．