Question

设a＝，b＝(4sinx，cosx－sinx)，f(x)＝a·b.

(1)求函数f(x)的解析式；

(2)已知常数ω＞0，若y＝f(ωx)在区间上是增函数，求ω的取值范围；

(3)设集合A＝，B＝{x||f(x)－m|＜2}，若AB，求实数m的取值范围．

 

Answer 1

（1）f(x)＝2sinx＋1（2）ω∈（3）m∈(1，4)

【解析】(1)f(x)＝sin2·4sinx＋(cosx＋sinx)·(cosx－sinx)＝4sinx·＋cos2x

＝2sinx(1＋sinx)＋1－2sin2x＝2sinx＋1，所以所求解析式为f(x)＝2sinx＋1.

(2)∵f(ωx)＝2sinωx＋1，ω＞0，由2kπ－≤ωx≤2kπ＋，

得f(ωx)的增区间是，k∈Z.

∵f(ωx)在上是增函数，∴.

∴－≥－且≤，∴ω∈.

(3)由|f(x)－m|＜2，得－2＜f(x)－m＜2，即f(x)－2＜m＜f(x)＋2.

∵AB，∴当≤x≤时，

不等式f(x)－2＜m＜f(x)＋2恒成立．∴f(x)max－2＜m＜f(x)min＋2，

∵f(x)max＝f＝3，f(x)min＝f＝2，∴m∈(1，4)．