Question

已知命题q：只有一个实数x满足不等式x²+2ax+2a≤0；命题P：方程a²x²+ax-2=0在[-1，1]上有解，若命题“p或q”是假命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：先求出命题q，p为真命题的等价条件，然后利用复合命题“p或q”是假命题，确定实数a的取值范围．

解答：解：命题q中，若只有一个实数x满足不等式x²+2ax+2a≤0，则对应方程x²+2ax+2a=0的判别式△=0，
即4a²-4×2a=0，解得a=0或a=2．
即q：a=0或a=2，￢q：a≠0且a≠2．
命题p中，若a=0，则方程a²x²+ax-2=0等价为-2=0，此时方程无解，所以a≠0．
当a≠0时，方程a²x²+ax-2=（ax+2）（ax-1）=0，则方程的根为x=

1

a

或x=-

2

a

．要使方程在[-1，1]上有解，则x=-

2

a

∈[-1，1]，必有x=

1

a

∈[-1，1]，解得a≥1或a≤-1．
即p：≥1或a≤-1，￢p：-1＜a＜1．
若命题“p或q”是假命题，则p，q同时为假，
即

a≠0且a≠2 -1＜a＜1

，即-1＜a＜0或0＜a＜1．
所以实数a的取值范围-1＜a＜0或0＜a＜1．

点评：本题的考点利用复合命题的真假来判断参数的取值范围，先将命题条件进行等价化简，然后根据复合命题的真假关系进行确定．