Question

已知向量

a

=(

3

， sin(x-

π

12

))，

b

=(sin(2x-

π

6

) ， 2sin(x-

π

12

))，

c

=(-

π

4

， 0)．定义函数f（x）=

a

•

b

．
（1）求函数f（x）的表达式；
（2）将函数f（x）的图象沿

c

方向移动后，再将其各点横坐标变为原来的2倍得到y=g（x）的图象，求y=g（x）的单调递减区间及g（x）取得最大值时所有x的集合．

Answer 1

分析：（1）将坐标代入数量积坐标表示，利用三角恒等变换公式化简得解析式f(x)=2sin(2x-

π

3

)+1
（2）由题设知f（x）的图象左平移

π

4

个单位，再将其各点横坐标变为原来的2倍得到y=g（x）的图象，故g(x)=2sin(x+

π

6

)+1，再由正弦类函数的性质求单调减区间与函数取到最大值自变量的集合即可．

解答：解：（1）

a

•

b

=( 

3

，sin(x-

π

12

))•(sin(2x-

π

6

)，2sin(x-

π

12

))
=

3

sin(2x-

π

6

)+2sin2(x-

π

12

)
=

3

sin(2x-

π

6

)+1-cos(2x-

π

6

)
=2sin(2x-

π

3

)+1
∴f(x)=2sin(2x-

π

3

)+1
（2）将f（x）的图象沿

c

方向移动，即向左平移

π

4

个单位，
其表达式为y=2sin[2(x+

π

4

)-

π

3

]+1，即y=2sin(2x+

π

6

)+1，
再将各点横坐标伸长为原来的2倍，得y=2sin(2×

x

2

+

π

6

)+1，
即g(x)=2sin(x+

π

6

)+1．
其单调递减区间为[2kπ+

π

3

，2kπ+

4π

3

]，k∈Z
当x+

π

6

=2kπ+

π

2

，即x=2kπ+

π

3

，k∈Z时，g(x)的最大值为3，
此时x的集合为{x|x=2kπ+

π

3

，k∈Z}．

点评：本题考点函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，综合考查了函数的图象变换与三角函数的性质，综合性较强，难度较高，题后应好好体会一下此题的做题过程与思维脉络．