Question

19．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且cosB=$\frac{4}{5}$，b=2，△ABC的面积为3，则a+c=$2\sqrt{10}$．

Answer 1

分析 由已知可求sinB，利用三角形面积公式即可解得ac=10，由余弦定理整理可得：（a+c）²=40，从而得解．

解答 解：在△ABC中，cosB=$\frac{4}{5}$，b=2，
∴sinB=$\sqrt{1-co{s}^{2}B}$=$\frac{3}{5}$，
∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{1}{2}×\frac{3}{5}×$ac=3，解得：ac=10，
由余弦定理得：b²=a²+c²-2ac•cosB，即4=a²+c²-$\frac{8}{5}$ac=a²+c²-16，
∴整理可得：（a+c）²=20+2ac=40，
解得：a+c=$2\sqrt{10}$．
故答案为：$2\sqrt{10}$．

点评 此题考查了余弦定理，同角三角函数关系式的应用，三角形面积公式的应用，熟练掌握相关公式定理是解本题的关键，属于中档题．