Question

已知数列{a_n}满足a_n=2a_n-1+2ⁿ+2（n≥2），a₁=2．
（1）是否存在一个实数t，使得数列成等差数列，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
（2）设数列{a_n}的前n项和为S_n，判断S_n与n³+n²的大小，并说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由恒为常数，能求出t．
（2）由，知a_n=（n+1）•2ⁿ-2，所以S_n=2•2+3•2²+4•2³+…+（n+1）•2ⁿ-2n，-S_n=2•2²+3•2³+4•2⁴+…+（n+1）•2ⁿ⁺¹-4n．两式相减得：-S_n=2•2+2²+2³+2⁴+…+2ⁿ-（n+1）•2ⁿ⁺¹+2n=-n•2ⁿ⁺¹+2n，S_n=n•2ⁿ⁺¹-2n．S_n=n•2ⁿ⁺¹-2n=2n（2ⁿ-1）=2n[（1+1）ⁿ-1]=2n[C_n+C_n¹+C_n²+…+C_nⁿ-1]．然后通过分类讨论进行求解．
解答：解：（1）∵恒为常数
∴t=2                                                         （5分）
（2）∵∴a_n=（n+1）•2ⁿ-2（7分）∴S_n=2•2+3•2²+4•2³+…+（n+1）•2ⁿ-2n∴-S_n=2•2²+3•2³+4•2⁴+…+（n+1）•2ⁿ⁺¹-4n
两式相减得：-S_n=2•2+2²+2³+2⁴+…+2ⁿ-（n+1）•2ⁿ⁺¹+2n=-n•2ⁿ⁺¹+2n∴S_n=n•2ⁿ⁺¹-2n（10分）∴S_n=n•2ⁿ⁺¹-2n=2n（2ⁿ-1）=2n[（1+1）ⁿ-1]（12分）=2n[C_n+C_n¹+C_n²+…+C_nⁿ-1]
当n≥4时，（12分）
当n=3时，S₃=3×2⁴-2×3=42＞3³+3²=36．
当n=1时，S₂=2=1³+1²
当n=2时，S₂=4＜2³+2²=12．
综上可知，当n≥3时，S_n＞n³+n²；当n=2时，S_n＜n³+n²；当n=1时，S_n=n³+n²．（14分）
点评：本题考查数列与不等式的综合运用，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地运用错位相减法和分类讨论法进行解题．