Question

P（x₀，y₀）（x₀≠±a）是双曲线E：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)上一点，M，N分别是双曲线E的左右顶点，直线PM，PN的斜率之积为

1

5

．
（1）求双曲线的离心率；
（2）过双曲线E的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A，B两点，O为坐标原点，C为双曲线上一点，满足

OC

=λ

OA

+

OB

，求λ的值．

Answer 1

分析：（1）根据P（x₀，y₀）（x₀≠±a）是双曲线E：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)上一点，代入双曲线的方程，M，N分别是双曲线E的左右顶点，直线PM，PN的斜率之积为

1

5

，求出直线PM，PN的斜率，然后整体代换，消去x₀，y₀，再由c²=a²+b²，即可求得双曲线的离心率；
（2）根据过双曲线E的右焦点且斜率为1的直线，写出直线的方程，联立直线与双曲线的方程，消去y，得到关于x的一元二次方程，利用韦达定理，及A，B，C为双曲线上的点，注意整体代换，并代入

OC

=λ

OA

+

OB

，即可求得λ的值．

解答：解：（1）∵P（x₀，y₀）（x₀≠±a）是双曲线E：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)上一点，
∴

x02

a2

-

y02

b2

=1，
由题意又有

y0

x0-a

•

y0

x0+ a

=

1

5

，
可得a²=5b²，c²=a²+b²，
则e=

c

a

=

30

5

，
（2）联立

x2-5y2=5b2 y=x-c

，得4x²-10cx+35b²=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x₁+x₂=

5c

2

，x₁•x₂=

35b2

4

，
设

OC

=（x₃，y₃），

OC

=λ

OA

+

OB

，
即

x3=λx1+x2 y3=λy1+y2

又C为双曲线上一点，即x₃²-5y₃²=5b²，
有（λx₁+x₂）²-5（λy₁+y₂）²=5b²，
化简得：λ²（x₁²-5y₁²）+（x₂²-5y₂²）+2λ（x₁x₂-5y₁y₂）=5b²，
又A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）在双曲线上，所以x₁²-5y₁²=5b²，x₂²-5y₂²=5b²，
而x₁x₂-5y₁y₂=x₁x₂-5（x₁-c）（x₂-c）=-4x₁x₂+5c（x₁+x₂）-5c²=10b²，
得λ²+4λ=0，解得λ=0或-4．

点评：此题是个难题．本题考查了双曲线的标准方程及其简单的几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系，是一道综合性的试题，考查了学生综合运用知识解决问题的能力．其中问题（2）考查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力，