Question

（2013•辽宁一模）已知函数f（x）=ax²-x（a∈R，a≠0），g（x）=lnx
（1）当a=1时，判断函数f（x）-g（x）在定义域上的单调性；
（2）若函数y=f（x）与y=g（x）的图象有两个不同的交点M，N，求a的取值范围．
（3）设点A（x₁，y₁）和B（x₂，y₂）（x₁＜x₂）是函数y=g（x）图象上的两点，平行于AB的切线以P（x₀，y₀）为切点，求证x₁＜x₀＜x₂．

Answer 1

分析：（1）记F（x）=f（x）-g（x）=ax²-x-lnx，可得F'（x）=

(x-1)(2x+1)

x

．再讨论F'（x）的正负，可得函数f（x）-g（x）的单调增区间为（1，+∞），单调减区间为（0，1）；
（2）由f（x）=g（x）得ax²-x=lnx，可得a=

x+lnx

x2

．设r（x）=

x+lnx

x2

，通过研究r'（x）的正负，得到r（x）的极大值为r（1）=1＞0，当x∈（0，1）时，r（x）∈（-∞，1]；且当x＞1时0＜r（x）＜1．由此可得当y=f（x）与y=g（x）图象有两个不同的交点M、N时，实数a的取值范围为（0，1）；
（3）根据导数的几何意义与两点连线的斜率公式，得

1

x0

=

y2-y1

x2-x1

，解出x₀=

x2-x1

ln x2 x1

，利用函数y=ln（1+x）-x的单调性，得出ln

x2

x1

＜

x2

x1

-1，从而得到x₀＞

x2-x1

x2 x1 -1

=x₁；类似的方法可证出x₀=

x2-x1

-ln x1 x2

＜

x2-x1

x2-x1 x2

=x₂．由此即可得到x₁＜x₀＜x₂成立．

解答：解：（1）记F（x）=f（x）-g（x）=ax²-x-lnx，（x＞0）
当a=1时，F'（x）=2ax-1-

1

x

=

(x-1)(2x+1)

x

，（x＞0）
∵当x∈（0，1）时F'（x）＜0；当x∈（1，+∞）时F'（x）＞0
∴函数f（x）-g（x）的单调增区间为（1，+∞），单调减区间为（0，1）；
（2）函数y=f（x）与y=g（x）的图象的交点横坐标，即为方程f（x）=g（x）的实数解
由f（x）=g（x），得ax²-x=lnx，可得a=

x+lnx

x2

令r（x）=

x+lnx

x2

，求导数得r'（x）=

(1+ 1 x )•x2-2x(x+lnx)

x4

=

1-x-2lnx

x3

∵当x∈（0，1）时r'（x）＞0；当x∈（1，+∞）时r'（x）＜0
∴函数r（x）的单调增区间为（0，1），单调减区间为（1，+∞），
可得r（x）的极大值为r（1）=1＞0，
又∵r（

1

e

）=

-1+e-1

e-2

＜0，当x→0时，r（x）→-∞，且当x＞1时0＜r（x）＜1
∴r（1）=1是函数r（x）的最大值，且函数r（x）的值域为（-∞，1]
因此，要使y=f（x）与y=g（x）图象有两个不同的交点M、N，实数a的取值范围为（0，1）．
（3）由已知，得

1

x0

=

y2-y1

x2-x1

，所以x₀=

x2-x1

y2-y1

=

x2-x1

ln x2 x1

；
∵函数y=ln（1+x）-x在区间（-1，0）上是减函数，在区间（0，+∞）上是增函数
∴函数y=ln（1+x）-x的最小值为0，得当x＞0时，ln（1+x）-x＞0，可得ln（1+x）＞x
因此，由ln

x2

x1

=ln（1+

x2

x1

-1）＜

x2

x1

-1，故x₀=

x2-x1

ln x2 x1

＞

x2-x1

x2 x1 -1

=x₁；
同理可得x₀=

x2-x1

ln x2 x1

=

x2-x1

-ln x1 x2

=

x2-x1

-ln(1+ x1 x2 -1)

＜

x2-x1

x2-x1 x2

=x₂
综上所述，可得x₁＜x₀＜x₂．

点评：本题给出含有字母参数的二次函数f（x）和对数函数g（x），讨论它们的差函数的单调区间，并且讨论了两个函数图象交点个数的问题．着重考查了基本初等函数的性质、利用导数研究函数的单调性、导数的几何意义与直线的斜率和不等式的证明等知识，属于中档题．