Question

（2013•辽宁一模）已知：函数f（x）=-x³+mx在（0，1）上是增函数．
（1）求实数m的取值的集合A；
（2）当m取集合A中的最小值时，定义数列{a_n}：满足a₁=3，且a_n＞0，an+1=

-3f′(an)+9

-2，求数列{a_n}的通项公式
（3）若b_n=na_n数列{b_n}的前n项和为S_n，求证：Sn＞

1

2

．

Answer 1

分析：（1）由函数f（x）是增函数，利用导数得m≥3x²对任意x∈（0，1）恒成立，从而求出m的范围，即求出集合A；
（2）由（1）中的m的最小值为3，得到f′（x），从而将an+1=

-3f′(an)+9

-2变形得到数列{a_n-1}是首项为2，公比为3的等比数列，即可求数列{a_n}的通项公式；
（3）由（2）可求b_n=na_n=2n•3^n-1+nS_n=2（1•3⁰+2•3¹+3•3²+…+n•3^n-1）+（1+2+3+…+n），再利用错位相减法化简得到S_n=

1

2

+

(2n-1)3n

2

+

(1+n)n

2

，显然sn＞

1

2

，从而得证．

解答：解：（1）f′（x）=-3x²+m≥0对任意x∈（0，1）恒成立，
所以：m≥3x²对任意x∈（0，1）恒成立，得m≥3即A=[3，+∞）
（2）由m=3得：f（x）=-x³+3x?f′（x）=-3x²+3
所以：an+1=

-3(-3an2+3)+9

-2…(an＞0)
得：a_n+1-1=3（a_n-1）所以数列{a_n-1}是首项为2，公比为3的等比数列
所以：a_n-1=2•3^n-1?a_n=2•3^n-1+1
（3）b_n=na_n=2n•3^n-1+nS_n=2（1•3⁰+2•3¹+3•3²+…+n•3^n-1）+（1+2+3+…+n）
令：T_n=1•3⁰+2•3¹+3•3²+…+n•3^n-1
3 T_n=1•3¹+2•3²+…+（n-1）•3^n-1+n•3ⁿ
-2 T_n=3⁰+3¹+3²+…+3^n-1-n•3ⁿ=

1•(1-3n)

-2

-n•3ⁿ=

1-3n+2n3n

-2

所以T_n=

1+(2n-1)3n

4

S_n=

1

2

+

(2n-1)3n

2

+

(1+n)n

2

＞

1

2

点评：此题考查导数的应用及数列求和常用的方法--错位相减法．