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    （2013•辽宁一模）已知O是锐角△ABC的外接圆圆心，∠A=θ，若
    cosB
    sinC
    AB
    +
    cosC
    sinB
    AC
    =2m
    AO
    ，则m=
    sinθ
    sinθ
    ．（用θ表示）
    分析：根据题意画出相应的图形，取AB的中点为D，根据平面向量的平行四边形法则可得
    AO
    =
    AD
    +
    DO
    ，代入已知的等式中，连接OD，可得
    AD
    ⊥
    AB
    ，可得其数量积为0，在化简后的等式两边同时乘以
    AB
    ，整理后利用向量模的计算法则及平面向量的数量积运算法则化简，再利用正弦定理变形，并用三角函数表示出m，利用诱导公式及三角形的内角和定理得到cosB=-cos（A+C），代入表示出的m式子中，再利用两角和与差的余弦函数公式化简，抵消合并约分后得到最简结果，把∠A=θ代入即可用θ的三角函数表示出m．
    解答：解：取AB中点D，则有
    AO
    =
    AD
    +
    DO
    ，
    代入
    cosB
    sinC
    AB
    +
    cosC
    sinB
    AC
    =2m
    AO
    得：
    cosB
    sinC
    AB
    +
    cosC
    sinB
    AC
    =2m(
    AD
    +
    DO
    )    ，
    由
    OD
    ⊥
    AB
    ，得
    DO
    •
    AB
    =0，
    ∴两边同乘
    AB
    ，化简得：
    cosB
    sinC
    AB
    •
    AB
    +
    cosC
    sinB
    AC
    •
    AB
    =2m(
    AD
    +
    DO
    )•
    AB
    =m
    AB
    •
    AB
    ，
    即
    cosB
    sinC
    c2+
    cosC
    sinB
    bc•cosA=mc2    ，
    由正弦定理
    a
    sinA
    =
    b
    sinB
    =
    c
    sinC
    化简得：
    cosB
    sinC
    sin2C+
    cosC
    sinB
    sinBsinCcosA=msin2    C，
    由sinC≠0，两边同时除以sinC得：cosB+cosAcosC=msinC，
    ∴m=
    cosB+cosAcosC
    sinC
    =
    -cos(A+C)+cosAcosC
    sinC

    =
    -cosAcosC+sinAsinC+cosAcosC
    sinC
    =sinA，
    又∠A=θ，
    则m=sinθ．
    故答案为：sinθ
    点评：此题考查了正弦定理，平面向量的数量积运算，三角形外接圆的性质，利用两向量的数量积判断两向量的垂直关系，诱导公式，以及两角和与差的余弦函数公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．
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    1
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