Question

18．已知数列{a_n}满足条件：a₁=1，a_n+1=2a_n+1
（1）求数列a_n的通项公式
（2）令${c_n}=\frac{2^n}{{{a_n}•{a_{n+1}}}}$记T_n=c₁+c₂+c₃+…+c_n  求T_n．

Answer 1

分析 （1）根据数列递推式，变形可得数列{a_n+1}是以2为首项，以2为公比的等比数列，由此可得结论．
（2）令${c_n}=\frac{2^n}{{{a_n}•{a_{n+1}}}}$求出通项公式，然后利用裂项法求和求解即可．

解答 解：（1）由题意a_n+1=2a_n+1可以得到a_n+1+1=2a_n+1+1=2（a_n+1）
所以$\frac{{a}_{n+1}+1}{{a}_{n}+1}$=2，所以数列{a_n+1}是以a₁+1=2为首项，以2为公比的等比数列．
则有a_n+1=2×2^n-1=2ⁿ，
所以a_n=2ⁿ-1．
（2）${c_n}=\frac{2^n}{{{a_n}•{a_{n+1}}}}$=$\frac{{2}^{n}}{（{2}^{n}-1）（{2}^{n+1}-1）}$=$\frac{1}{{2}^{n}-1}-\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$，
T_n=c₁+c₂+c₃+…+c_n=$\frac{1}{2-1}-\frac{1}{{2}^{2}-1}$$+\frac{1}{{2}^{2}-1}-\frac{1}{{2}^{3}-1}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}-1}-\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$
=1$-\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$
=$\frac{{2}^{n+1}-2}{{2}^{n+1}-1}$．

点评 本题考查数列递推式，数列通项公式以及数列求和，等比数列的判定，考查学生的计算能力，