Question

5．函数f（x）=$\frac{x^2+2x+a}{x}$在[$\frac{1}{2}$，+∞）上是增函数，则实数a的取值范围为（-∞，$\frac{1}{4}$]．

Answer 1

分析 求函数的导数，利用导数和单调性之间的关系进行求解即可．

解答 解：函数f（x）=x+2+$\frac{a}{x}$，
则f′（x）=1-$\frac{a}{{x}^{2}}$，
若函数在在[$\frac{1}{2}$，+∞）上是增函数，
则f′（x）≥0在[$\frac{1}{2}$，+∞）上恒成立，
即1-$\frac{a}{{x}^{2}}$≥0，则a≤x²在[$\frac{1}{2}$，+∞）上恒成立，
∵在[$\frac{1}{2}$，+∞）上，x²≥$\frac{1}{4}$，
∴a≤$\frac{1}{4}$，
故答案为：（-∞，$\frac{1}{4}$]

点评 本题主要考查函数单调性和导数之间的关系，将函数单调性转化为f′（x）≤0或f′（x）≥0恒成立是解决本题的关键．