Question

2．如图所示，是一个正方体的表面展开图，A、B、C均为棱的中点，D是顶点，则在正方体中，异面直线AB和CD的夹角的余弦值为（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{2}}}{5}$
• B． $\frac{{\sqrt{3}}}{5}$
• C． $\frac{{\sqrt{10}}}{5}$
• D． $\frac{{\sqrt{5}}}{5}$

Answer 1

分析 正方体的表面展开图还原成正方体，能求出异面直线AB和CD的夹角的余弦值．

解答 解：正方体的表面展开图还原成正方体，如图，
则异面直线AB和CD所成角为∠EFG，
设正方体棱长为2，
在△EFG中，EF=DC=$\sqrt{5}$，EG=$\sqrt{5}$，FG=2$\sqrt{2}$，
∴cos∠EFG=$\frac{\frac{1}{2}FG}{EF}$=$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{10}}{5}$．
∴异面直线AB和CD的夹角的余弦值为$\frac{\sqrt{10}}{5}$．
故选：C．

点评 本题考查异面直线的夹角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意正方体的结构特征的合理运用．