Question

A．（不等式选做题）
函数f（x）=x²-x-a²+a+1对于任一实数x，均有f（x）≥0．则实数a满足的条件是

 

．
B．（几何证明选做题）
如图，圆O是△ABC的外接圆，过点C的切线交AB的延长线于点D，CD=2

3

，AB=BC=4，则AC的长为

 

．
C．（坐标系与参数方程选做题）
在极坐标系中，曲线ρ=4cos(θ-

π

3

)上任意两点间的距离的最大值为

 

．

Answer 1

分析：A  由函数f（x）=x²-x-a²+a+1对于任一实数x，均有f（x）≥0，故判别式△=4a²-4a-3≤0，解出a 的范围．
B 由切线长定理求得DB=2，在△ABC 和△ACD 中，分别使用余弦理，解方程组求得 AC 的长．
C 把极坐标方程化为普通方程，可得曲线表示一个圆，故曲线上任意两点间的距离最大值为圆的直径．

解答：解：A，∵函数f（x）=x²-x-a²+a+1对于任一实数x，均有f（x）≥0．∴△=4a²-4a-3≤0，
解得-

1

2

≤a≤

3

2

．
B，由圆的切割线定理得  DC²=DB×DA，∴12=DB×（4+DB ），DB=2，DA=2+4=6，
设 AC=x，∠CAB=θ，在△ABC 和△ACD 中，分别使用余弦理得：
16=x²+16-2x•4cosθ，12=x²+36-2x•6cosθ，消去θ，解得  x=4

3

．
C，曲线ρ=4cos(θ-

π

3

) 即 ρ=2cosθ+

3

sinθ，∴x²+y²=2x+

3

y，
(x-1)2+(y-

3

2

)2=

7

4

，表示圆心在（1，

3

2

），半径等于

7

2

的圆．圆上任意两点间的距离最大
为直径

7

．
综上，故答案为：-

1

2

≤a≤

3

2

；4

3

；

7

．

点评：本题考查把极坐标方程化为普通方程，函数的恒成立问题，圆的切割线定理的应用．