Question

如图所示，在斜边为AB的Rt△ABC中，过A作PA⊥平面ABC，AM⊥PB于M，
AN⊥PC于N．（Ⅰ）求证：BC⊥面PAC；
（Ⅱ）求证：PB⊥面AMN．
（Ⅲ）若PA=AB=4，设∠BPC=θ，试用tanθ表示△AMN 的面积，当tanθ取何值时，△AMN的面积最大？最大面积是多少？

Answer 1

分析：（Ⅰ）由PA⊥平面ABC，可得PA⊥BC，又AB为斜边，得BC⊥AC，PA∩AC=A，由直线和平面垂直的判定
定理证得BC⊥平面PAC．
（Ⅱ）由BC⊥平面PAC证得BC⊥AN，又AN⊥PC，可得AN⊥面PBC，从而AN⊥PB．
（Ⅲ）由PB⊥面AMN，可得PB⊥MN，再由AN⊥平面PBC，可得AN⊥MN，故△AMN为直角三角形．用勾股定理
求出AN的值，根据S△AMN=

1

2

AN•MN=4

-(tan2θ- 1 2 )2+ 1 4

，求得它的最大值．

解答：解：（Ⅰ）证明：∵PA⊥平面ABC，BC?平面ABC．
∴PA⊥BC，又AB为斜边，∴BC⊥AC，PA∩AC=A，∴BC⊥平面PAC．（4分）
（Ⅱ）证明：∵BC⊥平面PAC，AN?平面PAC，∴BC⊥AN，又AN⊥PC，且BC∩PC=C，
∴AN⊥面PBC，又PB?平面PBC．∴AN⊥PB．
又∵PB⊥AM，AM∩AN=A，∴PB⊥平面AMN．（9分）
（Ⅲ）解：在Rt△PAB中，PA=AB=4，∴PB=4

2

，∵AM⊥PB，∴AM=

1

2

PB=2

2

，∴PM=BM=2

2

．
又∵PB⊥面AMN，MN?平面AMN．∴PB⊥MN．∵MN=PM•tanθ=2

2

tanθ，
∵AN⊥平面PBC，MN?平面PBC．∴AN⊥MN．
∵AN=

AM2-MN2

=

(2 2 )2-8tan2θ

=

8-8tan2

θ，∴S△AMN=

1

2

AN•MN=

1

2

•2

2

•

1-tan2θ

•2

2

tanθ=4

-(tan2θ- 1 2 )2+ 1 4

．
∴当tan²θ=

1

2

，即tanθ=

2

2

时，S_△AMN有最大值为2，
∴当tanθ=

2

2

时，S_△AMN面积最大，最大值为2．    　　  　 （16分）

点评：题考查证明线面垂直的方法，直线和平面垂直的判定、性质的应用，求出△AMN的面积并化简，是解题的
难点和关键，属于中档题．