Question

11．已知函数f（x）=ax²-x+c（x∈R）的值域为[0，+∞），则$\frac{1}{a}+\frac{2}{c}$的最小值为4$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 由二次函数的知识可得c=$\frac{1}{4a}$，可得$\frac{1}{a}+\frac{2}{c}$=$\frac{1}{a}$+8a，由基本不等式可得．

解答 解：∵f（x）=ax²-x+c（x∈R）的值域为[0，+∞），
∴a＞0且$\frac{4ac-（-1）^{2}}{4a}$=0，∴4ac=1，∴c=$\frac{1}{4a}$，
∴$\frac{1}{a}+\frac{2}{c}$=$\frac{1}{a}$+8a≥2$\sqrt{\frac{1}{a}•8a}$=4$\sqrt{2}$
当且仅当$\frac{1}{a}$=8a即a=$\frac{\sqrt{2}}{4}$时，取等号，
故答案为：4$\sqrt{2}$

点评 本题考查基本不等式求最值，涉及二次函数的最值，属基础题．