Question

已知数列{a_n}中，a₁=1，a₂=2，且a_n+1=（1+q）a_n-qa_n-1（n≥2，q≠0）．
（1）记b_n=a_n+1-a_n（n∈N^*），求证：数列{b_n}是等比数列，并求{b_n}的通项公式；
（2）求{a_n}的通项公式；
（3）当q∈（-3，-1）∪（-1，0）∪（0，1）时，记A_n=C_n¹a₁+C_n²a₂+…+C_nⁿa_n，求

lim

n→∞

An

2n

的值．

Answer 1

（1）由a_n+1=（1+q）a_n-qa_n-1得a_n+1-a_n=q（a_n-a_n-1），即b_n=qb_n-1（n≥2）（2分）
又a₁=1，a₂=2，所以b₁=a₂-a₁=1，又q≠0．
所以{b_n}是以1为首项，q为公比的等比数列．（4分）b_n=q^n-1（5分）
注：在证明中若从b_n=qb_n-1（n≥2）得出{b_n}是等比数列扣（1分）．
（2）由b_n=a_n+1-a_n及b_n=q^n-1得a_n+1-a_n=q^n-1（6分）a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₃-a₂）+（a₂-a₁）+a₁
=q^n-2+q^n-3+…+q+1+（18分）
当q=1时a_n=n（9分）
当q≠1时an=

1-qn-1

1-q

+1（10分）
（3）由q∈（-3，-1）∪（-1，0）∪（0，1）知an=

1-qn-1

1-q

+1=

2-q

1-q

+

qn-1

q-1

An= C 1n a1+ C 2n a2+…+ C nn an = 2-q 1-q ( C 1n + C 2n +…+ C nn )+ 1 q-1 ( C 1n q0+ C 2n q1+…+ C nn qn-1)

=

2-q

1-q

(2n-1)+

1

q(q-1)

[(1+q)n-1]（13分）

An

2n

=

q-2

q-1

(1-

1

2n

)+

1

q(q-1)

[(

1+q

2

)n-

1

2n

]
因为q∈（-3，-1）∪（-1，0）∪（0，1），所以-2＜q+1＜2?-1＜

q+1

2

＜1
则

lim

n→∞

(

1+q

2

)n=0，又

lim

n→∞

1

2n

=0
所以

lim

n→∞

An

2n

=

lim

n→∞

{

q-2

q-1

(1-

1

2n

)+

1

q(q-1)

[(

1+q

2

)n-

1

2n

]}=

q-2

q-1

（16分）