Question

8．已知a＞0，b＞0，a²+$\frac{{b}^{2}}{2}$=1，当a=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，b=$\frac{\sqrt{2}}{2}$时，y=a$\sqrt{1+{b}^{2}}$的最大值是$\frac{3\sqrt{2}}{4}$．

Answer 1

分析 先求出1-a²＞0，将b²=2-2a²代入y=a$\sqrt{1+{b}^{2}}$得到$\sqrt{2}$•$\sqrt{{a}^{2}（\frac{3}{2}-{a}^{2}）}$，利用基本不等式的性质，从而求出最大值．

解答 解：∵b²=2-2a²≥0，a＞0，
∴1-a²＞0，解得0＜a＜1．
∴y=a$\sqrt{1+{b}^{2}}$
=$\sqrt{{a}^{2}（1+{b}^{2}）}$
=$\sqrt{{a}^{2}+{a}^{2}（2-2{a}^{2}）}$
=$\sqrt{{a}^{2}（3-2{a}^{2}）}$
=$\sqrt{2}$•$\sqrt{{a}^{2}（\frac{3}{2}-{a}^{2}）}$
≤$\sqrt{2}$•$\frac{{a}^{2}+\frac{3}{2}-{a}^{2}}{2}$
=$\frac{3\sqrt{2}}{4}$，
当且仅当a²=$\frac{3}{2}$-a²时，即a=$\frac{\sqrt{3}}{2}$时，此时b=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
“=”成立．
函数y的最大值为$\frac{3\sqrt{2}}{4}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{3\sqrt{2}}{4}$．

点评 本题考查了基本不等式性质的应用，将y=a$\sqrt{1+{b}^{2}}$变形为y=$\sqrt{2}$•$\sqrt{{a}^{2}（\frac{3}{2}-{a}^{2}）}$是解题的关键，本题属于中档题．