Question

已知各项均为正数的数列{a_n}的首项a₁=1，且log2 an+1 =log2an+1，数列{b_n•a_n}是等差数列，首项为1，公差为2，其中n∈N^*．
（1）求数列{a_n}的通项公式；       
（2）求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析：（1）根据log₂a_n+1=log₂a_n+1，可得

an+1

an

=2，从而数列{a_n}是以1为首项，2为公比的等比数列，由此可得数列{a_n}的通项公式；
（2）根据数列{b_n•a_n}是等差数列，首项为1，公差为2，可得b_n•a_n=2n-1，从而bn=

2n-1

2n-1

，再用错位相减法求数列{b_n}的前n项和S_n．

解答：解：（1）∵log₂a_n+1=log₂a_n+1，∴

an+1

an

=2
∴数列{a_n}是以1为首项，2为公比的等比数列
∵a₁=1，∴an=2n-1；
（2）∵数列{b_n•a_n}是等差数列，首项为1，公差为2
∴b_n•a_n=2n-1，∴bn=

2n-1

2n-1

∴Sn=

1

20

+

3

21

+…+

2n-1

2n-1

∴

1

2

Sn=

1

21

+

3

22

+…+

2n-3

2n-1

+

2n-1

2n

两式相减可得：

1

2

Sn=1-2(

1

21

+

1

22

+…+

1

2n-1

)-

2n-1

2n

=3-

2n-3

2n

∴Sn=6-

2n-3

2n-1

点评：本题考查等比数列的通项的求解，考查错位相减法求数列的和，确定数列的通项是关键，属于中档题．