Question

【题目】已知椭圆C： =1（a＞b＞0）的长轴长为4，离心率为 ，右焦点为F．
（1）求椭圆C的方程；
（2）直线l与椭圆C相切于点P（不为椭圆C的左、右顶点），直线l与直线x=2交于点A，直线l与直线x=﹣2交于点B，请问∠AFB是否为定值？若不是，请说明理由；若是，请证明．

Answer 1

【答案】
（1）解：2a=4，即a=2，e= = ，

∴c= ，

b= =1，

∴椭圆方程为： ，

（2）解：证明：当l的斜率为0时，∠AFB为直角，则∠AFB为定值，为 ，

当斜率不为0时，设切点为P（x0，y0），则l： ，

∴A（2， ），B（﹣2， ），

∴kAFkBF= = =﹣1，

∴∠AFB为定值

【解析】（1）由2a=4，离心率e= = ，b= 即可求得a和b，即可求得椭圆C的方程；（2）l的斜率为0时，∠AFB为直角，则∠AFB为定值 ，当斜率不为0时，将切点代入椭圆方程，求得交点坐标，求得AF和BF的斜率kAF及kBF ， 即可求得kAFkBF=﹣1，即可求得∠AFB为定值 ．
【考点精析】利用椭圆的标准方程对题目进行判断即可得到答案，需要熟知椭圆标准方程焦点在x轴：，焦点在y轴：．