Question

直线y=kx-2与椭圆x²+4y²=80相交于不同的两点P、Q，若PQ的中点横坐标为2，则直线的斜率等于

1

2

．

Answer 1

分析：因为直线和椭圆有两个不同的交点，所以两方程联立化成关于x的一元二次方程的判别式大于0，又给出了两个交点的横坐标，可运用设而不求的办法把设出的P，Q点的坐标代入椭圆方程，作差后整理，使得一边为过P，Q两点的直线的斜率，一边代中点坐标，进一步整理后解关于k的方程即可．

解答：设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
由直线y=kx-2与椭圆x²+4y²=80联立得：（4k²+1）x²-16kx-64=0
因为直线y=kx-2与椭圆x²+4y²=80相交于不同的两点P、Q，所以△=（-16k）²-4×（4k²+1）×（-64）＞0，
即1280k²+256＞0，此式显然成立．
把P，Q点的坐标待入椭圆方程得：x12+4y12=80①
x22+4y22=80②
①-②得：

y1-y2

x1-x2

=-

x1+x2

4(y1+y2)

，所以

y1-y2

x1-x2

=-

x1+x2

4[k(x1+x2)-4]

，
又因为PQ的中点横坐标为2，所以x₁+x₂=4，
所以k=-

4

4(4k-4)

，即（2k-1）²=0，解得k=

1

2

．
故答案为

1

2

．

点评：本题考查了直线与圆锥曲线的关系，考查了“点差法”，考查了学生的运算能力，一般涉及直线与圆锥曲线的交点问题，如果给出了弦的中点坐标，常采用点差法，此题是中档题．