Question

线段AB是圆C₁：x²+y²+2x-6y=0的一条直径，离心率为的双曲线C₂以A，B为焦点．若P是圆C₁与双曲线C₂的一个公共点，则|PA|+|PB|=

1. A.
   
2. B.
   4
3. C.
   4
4. D.
   6

Answer 1

D
分析：由题设知双曲线C₂的焦距2c=|AB|=2，双曲线的实半轴a=，由P是圆C₁与双曲线C₂的公共点，知||PA|-|PB||=2，|PA|²+|PB|²=40，由此能求出|PA|+|PB|．
解答：∵圆C₁：x²+y²+2x-6y=0的半径r==，
线段AB是圆C₁：x²+y²+2x-6y=0的一条直径，
离心率为的双曲线C₂以A，B为焦点，
∴双曲线C₂的焦距2c=|AB|=2，
∵P是圆C₁与双曲线C₂的一个公共点，
∴||PA|-|PB||=2a，|PA|²+|PB|²=40，
∴|PA|²+|PB|²-2|PA||PB|=4a²，
∵c=，e==，
∴a=，
∴2|PA||PB|=32，
∴∴|PA|²+|PB|²+2|PA||PB|=（|PA|+|PB|）²=72，
∴|PA|+|PB|=6．
故选D．
点评：本题考查|PA|+|PB|的值的求法，具体涉及到圆的简单性质，双曲线的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．