精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
精英家教网如图,在直角坐标系中,A,B,C三点在x轴上,原点O和点B分别是线段AB和AC的中点,已知AO=m(m为常数),平面上的点P满足PA+PB=6m.
(1)试求点P的轨迹C1的方程;
(2)若点(x,y)在曲线C1上,求证:点(
x
3
y
2
2
)
一定在某圆C2上;
(3)过点C作直线l,与圆C2相交于M,N两点,若点N恰好是线段CM的中点,试求直线l的方程.
分析:(1)由题意结合椭圆的定义可得点P的轨迹C1是以A,B为焦点的椭圆,且半焦距长c=m,长半轴长a=3m,从而写出C2的方程.
(2)若点(x,y)在曲线C1上,则点的坐标适合曲线的方程:
x2
9m2
+
y2
8m2
=1
.经过转换得x02+y02=m2,从而得出点(
x
3
y
2
2
)
一定在某一圆C2上.
(3)由题意C(3m,0),M(x1,y1),利用因为点N恰好是线段CM的中点,得到N点的坐标,代入C2的方程得方程组,即可解得直线l有且只有一条.
解答:解:(1)由题意可得点P的轨迹C1是以A,B为焦点的椭圆.…(2分)
且半焦距长c=m,长半轴长a=3m,则C1的方程为
x2
9m2
+
y2
8m2
=1
.…(5分)
(2)若点(x,y)在曲线C1上,则
x2
9m2
+
y2
8m2
=1
.设
x
3
=x0
y
2
2
=y0
,则x=3x0y=2
2
y0
.…(7分)
代入
x2
9m2
+
y2
8m2
=1
,得x02+y02=m2,所以点(
x
3
y
2
2
)
一定在某一圆C2上.
…(10分)
(3)由题意C(3m,0).…(11分)
设M(x1,y1),则x12+y12=m2.…①
因为点N恰好是线段CM的中点,所以N(
x1+3m
2
y1
2
)
.代入C2的方程得(
x1+3m
2
)2+(
y1
2
)2=m2
.…②
联立①②,解得x1=-m,y1=0.…(15分)
故直线l有且只有一条,方程为y=0.…(16分)
(若只写出直线方程,不说明理由,给1分)
点评:本小题主要考查曲线与方程、圆锥曲线的轨迹问题等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想、化归与转化思想.属于基础题.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

精英家教网如图,在直角坐标系中,射线OA:x-y=0(x≥0),OB:
3
x+3y=0(x≥0),
过点P(1,0)作直线分别交射线OA、OB于A、B点.
①当AB的中点为P时,求直线AB的方程;
②当AB的中点在直线y=
1
2
x上时,求直线AB的方程.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

精英家教网如图,在直角坐标系中,已知△ABC的三个顶点的坐标,求:
(1)直线AB的一般式方程;
(2)AC边上的高所在直线的斜截式方程.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

如图,在直角坐标系中,直线y=6-x与y=
4x
(x>0)
的图象相交于点A、B,设点A的坐标为(x1,y1),那么长为x1,宽为y1的矩形面积和周长分别为
4,12
4,12

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

如图,在直角坐标系中,中心在原点,焦点在x轴上的椭圆G的离心率为
15
4
,左顶点为A(-4,0).圆O′:(x-2)2+y2=
4
9

(Ⅰ)求椭圆G的方程;
(Ⅱ)过M(0,1)作圆O′的两条切线交椭圆于E、F,判断直线EF与圆的位置关系,并证明.

查看答案和解析>>

同步练习册答案