Question

如图，在直角坐标系中，中心在原点，焦点在x轴上的椭圆G的离心率为

15

4

，左顶点为A（-4，0）．圆O′：(x-2)2+y2=

4

9

（Ⅰ）求椭圆G的方程；
（Ⅱ）过M（0，1）作圆O′的两条切线交椭圆于E、F，判断直线EF与圆的位置关系，并证明．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用椭圆G的离心率为

15

4

，左顶点为A（-4，0），建立方程，即可求得椭圆G的方程；
（Ⅱ）直线EF与圆O'的相切．设过点M（0，1）与圆相切的直线方程为：y-1=kx，由圆心到直线的距离等于半径求k的值，与椭圆方程联立，表示出E，F和坐标，从而得到EF所在的直线的方程，再探讨圆心到直线的距离和半径的关系．

解答：解：（Ⅰ）∵椭圆G的离心率为

15

4

，左顶点为A（-4，0）
∴

c

a

=

15

4

，a=4
∴c=

15

，∴b=1
∴椭圆G的方程为

x2

16

+y2=1；
（Ⅱ）直线EF与圆O'的相切
设过点M（0，1）与圆O′：(x-2)2+y2=

4

9

相切的直线方程为：y-1=kx①
则

2

3

=

|2k+1|

1+k2

，即32k²+36k+5=0②，解得k1=

-9+ 41

16

，k2=

-9- 41

16

把①代入椭圆方程，消去y可得（16k²+1）x²+32kx=0，则异于零的解为x=-

32k

16k2+1

设F（x₁，k₁x₁+1），E（x₂，k₂x₂+1），则x₁=-

32k1

16k12+1

，x₂=-

32k2

16k22+1

则直线FE的斜率为：k_EF=

k1+k2

1-16k1k2

=

3

4

于是直线FE的方程为：y+

32k12

16k12+1

-1=

3

4

（x+

32k1

16k12+1

）即y=

3

4

x-

7

3

则圆心（2，0）到直线FE的距离d=

| 3 2 - 7 3 |

1+ 9 16

=

2

3

，故结论成立．

点评：本题主要是通过圆和椭圆来考查直线和圆，直线和椭圆的位置关系，考查学生的计算能力．