Question

如图，A是单位圆与x轴正半轴的交点，点B、P在单位圆上，且．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）令∠AOP=θ（0＜θ＜π），，四边形OAQP的面积为S，，求f（θ）的最大值及此时θ的值．

Answer 1

【答案】分析：（I）由∠AOB=α可得α的终边与单位圆交于点B（-，），根据三角函数的定义，可求出α的正切值，进而利用弦化切技巧可求出的值．
（Ⅱ）由条件可得OAQP为平行四边形，它的面积S=2S_△AOP=sinθ，化简函数f（θ）的解析式为sin（2θ-）+1，由此根据正弦函数的定义域和值域求得f（θ）的最大值及此时θ的值．
解答：解：（I）∵∠AOB=α，∴α的终边与单位圆交于点B（-，），∴tanα===-．
∴===．
（Ⅱ）∵∠AOP=θ（0＜θ＜π），，故四边形OAQP为平行四边形，
∴四边形OAQP的面积为S=2S_△AOP=2××1×1sinθ=sinθ．
∵A（1 0），P（cosθ，sinθ），
∴==+=1+cosθ．
∴=cosθ•sinθ+sin²θ=sin2θ+=sin（2θ-）+1，
∴当 sin（2θ-）=1，即 2θ-=时，即 θ=时，函数f（θ）取得最大值为．
点评：本题考查的知识点是任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系，三角函数的最值，熟练掌握三角函数的定义及性质是解答的关键，属于中档题．