Question

12．已知函数f（x）=alnx，a∈R，若曲线y=f（x）与曲线g（x）=$\sqrt{x}$在交点处有共同的切线，a的值是$\frac{e}{2}$．

Answer 1

分析 已知曲线y=f（x）与曲线y=g（x）在交点处有相同的切线，求a的值，考虑到求解导函数的方法，先求出交点，再根据切线斜率相等求出a．

解答 解：已知函数f（x）=alnx，a∈R．g（x）=$\sqrt{x}$，
则：f′（x）=$\frac{a}{x}$，g′（x）=$\frac{1}{2\sqrt{x}}$（x＞0），
由已知曲线y=f（x）与曲线y=g（x）在交点处有相同的切线，
故有$\sqrt{x}$=alnx且$\frac{a}{x}$=$\frac{1}{2\sqrt{x}}$，
解得x=e²，a=$\frac{e}{2}$．
故答案为：$\frac{e}{2}$．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率，掌握导数的几何意义和正确求导是解题的关键．