Question

已知二次函数g（x）对任意实数x都满足g（x-1）+g（1-x）=x²-2x-1，且g（1）=-1．令．
（1）求g（x）的表达式；
（2）若函数f（x）在x∈[1，+∞）上的最小值为0，求m的值；
（3）记函数H（x）=[x（x-a）²-1]•[-x²+（a-1）x+a-1]，若函数y=H（x）有5个不同的零点，求实数a的取值范围．

Answer 1

解：（1）设g（x）=ax²+bx+c，于是g（x-1）+g（1-x）=2a（x-1）²+2c=2（x-1）²-2，所以
又g（1）=-1，则．所以．
（2）
则．
令f'（x）=0，得（舍），x=m．
①当m＞1时，

x	1	（1，m）	m	（m，+∞）
f'（x）		-	0	+
f（x）	1+m	↘	2m2-3m2lnm	↗

∴当x=m时，．
令2m²-3m²lnm=0，得．
②当0＜m≤1时，f'（x）≥0在x∈[1，+∞）上恒成立，f（x）在x∈[1，+∞）上为增函数，
当x=1时，f_min（x）=1+m，令m+1=0，得m=-1（舍）．
综上所述，所求m为．
（3）记，，则据题意有h₁（x）-1=0有3个不同的实根，h₂（x）-1=0有2个不同的实根，且这5个实根两两不相等．
（ⅰ）h₂（x）-1=0有2个不同的实根，只需满足，∴a＞1或a＜-3；
（ⅱ）h₁（x）-1=0有3个不同的实根，因，
令，得x=a或，
1°当即a＜0时，h₁（x）在x=a处取得极大值，而h₁（a）=0，不符合题意，舍；
2°当即a=0时，不符合题意，舍；
3°当即a＞0时，h₁（x）在处取得极大值，，所以
因为（ⅰ）（ⅱ）要同时满足，故．
下证：这5个实根两两不相等，即证：不存在x₀使得h₁（x₀）-1=0和h₂（x₀）-1=0同时成立；
若存在x₀使得h₁（x₀）=h₂（x₀）=1，
由h₁（x₀）=h₂（x₀），即，
得，
当x₀=a时，f（x₀）=g（x₀）=0，不符合，舍去；
当x₀≠a时，有①；
又由g（x₀）=1，即②；
联立①②式，可得a=0；
而当a=0时，H（x）=（x³-1）（-x²-x-1）=0没有5个不同的零点，故舍去，所以这5个实根两两不相等．
综上，当时，函数y=H（x）有5个不同的零点．
分析：（1）设g（x）=ax²+bx+c，根据g（x-1）+g（1-x）=2（x-1）²-2，可求a，c的值，利用g（1）=-1，可求b的值，从而得到g（x）的表达式；
（2）求导函数，令f'（x）=0，得x=m，对参数m分类讨论，确定函数的单调性，从而可得函数的最小值，利用f（x）在x∈[1，+∞）上的最小值为0，可求m的值；
（3）记，，则据题意有h₁（x）-1=0有3个不同的实根，h₂（x）-1=0有2个不同的实根，且这5个实根两两不相等，进而分类讨论，即可确定实数a的取值范围．
点评：本题考查函数的解析式，考查导数知识的运用，考查分类讨论的数学思想，考查函数的零点，综合性强，难度大．