【题目】如图,已知正方形和矩形
所在的平面互相垂直,
,
,
是线段
的中点.
(1)求证:平面
;
(2)若,求二面角
的大小;
(3)若线段上总存在一点
,使得
,求
的最大值.
【答案】(1)证明见解析;(2);(3)
.
【解析】
(1)设,连结
,
,通过证明
为平行四边形得
,或者建立空间直角坐标系,利用向量证明平行;
(2)建立空间直角坐标系,利用向量方法分别求出两个半平面的法向量的夹角即可得到二面角的大小;
(3)根据向量的坐标表示,得
恒有解即可求出
的范围.
解:(1)法一:设,连结
,
,
因为矩形中
是线段
的中点,
是线段
的中点,
所以,
,所以
为平行四边形,
故,
又平面
,
平面
,
所以平面
;
法二:由题意,正方形和矩形
所在的平面互相垂直,
因为平面平面
,
,所以
平面
,
以为
轴,
为
轴,
为
轴,建立如图所示空间直角坐标系,
因为,
,
是线段
的中点,
则,
,
,
,
,
,
从而,
,
,
,
设平面的法向量为
,则由
,可知
,
不妨令,则
,
,从而平面
的一个法向量为
,
计算可知,又
平面
,
所以,从而
平面
.
(2)若,则
,
,
平面的一个法向量为
,
设平面的法向量为
,则由
,可知
,
不妨令,则
,
,
从而平面的一个法向量为
,
设二面角的平面角为
,
因为为锐角,所以
,
所以二面角的大小为
.
(3)因为点在线段
上,而
,
设,其中
,
则,从而
点坐标为
,
于是,而
,
则由可知
,即
,
所以,解得
,故
的最大值为
.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】党的十九大明确把精准脱贫作为决胜全面建成小康社会必须打好的三大攻坚战之一.为坚决打赢脱贫攻坚战,某帮扶单位为帮助定点扶贫村脱贫,坚持扶贫同扶智相结合,此帮扶单位考察了甲、乙两种不同的农产品加工生产方式,现对两种生产方式的产品质量进行对比,其质量按测试指标可划分为:指标在区间的为优等品;指标在区间
的为合格品,现分别从甲、乙两种不同加工方式生产的农产品中,各自随机抽取100件作为样本进行检测,测试指标结果的频数分布表如下:
甲种生产方式:
指标区间 | ||||||
频数 | 5 | 15 | 20 | 30 | 15 | 15 |
乙种生产方式:
指标区间 | ||||||
频数 | 5 | 15 | 20 | 30 | 20 | 10 |
(1)在用甲种方式生产的产品中,按合格品与优等品用分层抽样方式,随机抽出5件产品,①求这5件产品中,优等品和合格品各多少件;②再从这5件产品中,随机抽出2件,求这2件中恰有1件是优等品的概率;
(2)所加工生产的农产品,若是优等品每件可售55元,若是合格品每件可售25元.甲种生产方式每生产一件产品的成本为15元,乙种生产方式每生产一件产品的成本为20元.用样本估计总体比较在甲、乙两种不同生产方式下,该扶贫单位要选择哪种生产方式来帮助该扶贫村来脱贫?
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,设椭圆:
,长轴的右端点与抛物线
:
的焦点
重合,且椭圆
的离心率是
.
(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)过作直线
交抛物线
于
,
两点,过
且与直线
垂直的直线交椭圆
于另一点
,求
面积的最小值,以及取到最小值时直线
的方程.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】设椭圆的右顶点为
,上顶点为
.已知椭圆的离心率为
,
.
(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)设直线:
与椭圆交于
,
两点,且点
在第二象限.
与
延长线交于点
,若
的面积是
面积的3倍,求
的值.
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中,直线
的参数方程为
(
为参数),以原点
为极点,
轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线
的极坐标方程是
(Ⅰ)求直线的普通方程与曲线
的直角坐标方程;
(Ⅱ)设直线与曲线
相交于
两点,当
时,求
的取值范围.
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【题目】年央视大型文化节目《经典咏流传》的热播,在全民中掀起了诵读诗词的热潮,节目组为热心观众给以奖励,要从
名观众中抽取
名幸运观众.先用简单随机抽样从
人中剔除
人,剩下的
人再按系统抽样方法抽取
人,则在
人中,每个人被抽取的可能性( )
A. 均不相等B. 都相等,且为
C. 不全相等D. 都相等,且为
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【题目】现有一场专家报告会,张老师带甲,乙,丙,丁四位同学参加,其中有一个特殊位置可与专家近距离交流,张老师看出每个同学都想去坐这个位置,因此给出一个问题,谁能猜对,谁去坐这个位置.问题如下:某班10位同学参加一次全年级的高二数学竞赛,最后一道题只有6名同学,
,
,
,
,
尝试做了,并且这6人中只有1人答对了.听完后,四个同学给出猜测如下:甲猜:
或
答对了;乙猜:
不可能答对;丙猜:
,
,
当中必有1人答对了;丁猜:
,
,
都不可能答对,在他们回答完后,张老师说四人中只有1人猜对,则张老师把特殊位置给了__________.
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【题目】2018年非洲猪瘟在东北三省出现,为了进行防控,某地生物医药公司派出技术人员对当地一养猪场提供技术服务,收费标准是:每天公司收取养猪场技术服务费120元,当天若需要用药的猪不超过45头,不另外收费,若需要用药的猪超过45头,超过部分每头收取药费8元.
(1)设医药公司日收费为(单位:元),每天需要用药的猪的数量为
(单位:头),
,试写出医药公司日收取的费用
关于
的函数关系式;
(2)若该医药公司从10月1日起对该养猪场提供技术服务,10月31日该养猪场对其中一个猪舍9月份和10月份猪的发病数量进行了统计,得到如下列联表.
9月份 | 10月份 | 合计 | |
未发病 | 40 | 85 | 125 |
发病 | 65 | 20 | 85 |
合计 | 105 | 105 | 210 |
根据以上列联表,判断是否有99.9%的把握认为猪未发病与医药公司提供技术服务有关?
附:,其中
.
0.050 | 0.010 | 0.001 | |
3.841 | 6.635 | 10.828 |
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