Question

设x∈N⁺时f（x）∈N⁺，对任何n∈N+有f（n+1）＞f（n）且f（f（n））=3n，
（1）求f（1）；
（2）求f（6）+f（7）；
（3）求f（2012）．

Answer 1

分析：（1）由f（f（n））=3n，可得f（1）≠1，由f（x）∈N^*，且f（n+1）＞f（n），可得f（1）≥2，进而可得f（2）≤f（f（1））=3，f（2）＞f（1）≥2，进而得到答案．
（2）由（1）中结论，可得f（3）=f（f（2））=6，f（6）=f（f（3））=9，结合f（x）∈N^*，且f（n+1）＞f（n），可得f（4）=7，进而f（7）=f（f（4））=12，代入可得答案．
（3）由（1）（2）类推可得：f（9）=f（f（6））=18，f（18）=f（f（9））=27，且f（k）=k+9…9≤k≤18，f（27）=f（f（18））=54，f（54）=f（f（27））=81，且f（k）=k+27…27≤k≤54…f（1458）=f（f（729））=2187，且f（k）=k+729…729≤k≤1458，且 f（2012-729）=2012，代入可得答案．

解答：解：（1）∵f（f（n））=3n，
∴f（f（1））=3，
若f（1）=1，则f（f（1））=f（1）=3，与f（1）=1矛盾
故f（1）≠1 
∵f（x）∈N^*
∴f（1）≥2
∵f（x）在大于0上是单调增函数
∴f（2）≤f（f（1））=3
又由f（2）＞f（1）≥2，
可得2≤f（1）＜f（2）≤3
故f（1）=2，f（2）=3
（2）因为 f（3）=f（f（2））=6，
f（6）=f（f（3））=9，
且f（3）＜f（4）＜f（5）＜f（6）
所以f（4）=7，f（5）=8，
所以f（4）+f（5）=7+8=15
（3）f（9）=f（f（6））=18
f（18）=f（f（9））=27---且f（k）=k+9…9≤k≤18
f（27）=f（f（18））=54
f（54）=f（f（27））=81---且f（k）=k+27…27≤k≤54
f（81）=f（f（54））=162
f（162）=f（f（81））=243---且f（k）=k+81…81≤k≤162
f（243）=f（f（162））=486
f（486）=f（f（243））=729---且f（k）=k+243…243≤k≤486
f（729）=f（f（486））=1458
f（1458）=f（f（729））=2187---且f（k）=k+729…729≤k≤1458
所以  f（2012-729）=2012
所以f（2012）=f（f（2012-729））=3（2012-729）=3849

点评：本题考查的知识点是抽象函数的函数值，正确理解f（x）∈N^*，且f（n+1）＞f（n）的含义，并由此类推出各段函数值是解答的关键．