Question

已知定理：“如果两个非零向量不平行，那么（k₁，k₂∈R）的充要条件是k₁=k₂=0”．试用上述定理解答问题：
设非零向量与不平行．已知向量，向量，且．求k与θ的关系式；并当θ∈R时，求k的取值范围．

Answer 1

解：∵，∴存在唯一实数λ，使，即
∵，，
∴
即
∴ksinθ+λ=0，2-cosθ+λ=0
∴ksinθ=2-cosθ，k=
∵可看作点（-sinθ，cosθ），与点（0，2）连线的斜率
（-sinθ，cosθ）是圆x²+y²=1上动点，（0.2）是定点
求过（0，2）点的圆的切线斜率，可得k=±
∴-＜k＜
答：k与θ的关系式为k=，当θ∈R时，k的取值范围为（-，）
分析：因为，可根据向量平行的充要条件，找到坐标之间的关系，再根据题目中给出的定理，化简，即可得到k与θ的关系式，把关系式看作过定点与动点的直线的斜率，利用直线与圆相切的判断，求出k的范围即可．
点评：本题主要考查了利用新概念解题，以及应用直线的斜率公式求范围，考查了学生具有自主学习的能力和转化的思想．