Question

设λ＞0，不等式组 

x≤2 λx-y≥0 x+2λy≥0

所表示的平面区域是W．给出下列三个结论：
①当λ=1时，W的面积为3；
②?λ＞0，使W是直角三角形区域；
③设点P（x，y），对于?P∈W有x+

y

λ

≤4．
其中，所有正确结论的序号是

①、③

．

Answer 1

分析：①利用线性规划确定三角形的面积即可．②利用直线垂直的条件判断．③设z=x+

y

λ

，则y=-λx+λz，利用线性规划的知识求z的最大值即可．

解答：解：①当λ=1时，不等式组为

x≤2 x-y≥0 x+2y≥0

，解得三角形的三个交点为（0，0），（2，2），（2，-1），所以三角形的面积为

1

2

×2×3=3，所以①正确．
②因为直线λx-y=0的斜率为λ，直线x+2λy=0的斜率为-

1

2λ

，所以λ•(-

1

2λ

)=-

1

2

≠-1，所以区域W不可能是直角三角形区域，所以②错误．
③设z=x+

y

λ

，则y=-λx+λz，平移直线y=-λx+λz，由图象可知当直线经过点A时，直线y=-λx+λz，的截距最大，此时z最大，由

x=2 λx-y=0

解得

x=2 y=2λ

，即A（2，2λ）．代入z=x+

y

λ

，的z的最大值为2+

2λ

λ

=2+2=4，所以?P∈W有x+

y

λ

≤4成立，所以③正确．
故答案为：①③．

点评：本题主要考查不等式的应用，利用线性规划的内容是解决本题的关键．