Question

如图，半径为1的⊙O上有一定点P和两个动点A，B，且AB=1，则

PA

•

PB

的最大值是

3

2

+

3

．

Answer 1

分析：可连接OA、OB、OP，设∠AOP=θ，则∠POB=θ+

π

3

，将

PA

•

PB

转化为

PA

•

PB

=（

OA

-

OP

）•（

OB

-

OP

）=

OA

•

OB

-

OA

•

OP

-

OP

•

OB

+

OP

2，再利用向量的数量积计算即可．

解答：解：连接OA、OB、OP，由|

OA

|=|

OB

|=|

AB

|=1知：∠AOB=

π

3

，
设∠AOP=θ，则∠POB=θ+

π

3

，于是

PA

•

PB

=（

OA

-

OP

）•（

OB

-

OP

）=

OA

•

OB

-

OA

•

OP

-

OP

•

OB

+

OP

2
=1×1×cos

π

3

-1×1×cosθ-1×1×cos（θ+

π

3

）+1
=

3

2

-[cosθ+cos（θ+

π

3

PA

）]
=

3

2

-

3

（

3

2

cosθ-

1

2

sinθ）
=

3

2

-

3

cos（θ+

π

6

）
∴

PA

•

PB

的最大值为：

3

2

+

3

故答案为：

3

2

+

3

点评：本题考查余弦函数的定义域和值域，关键在于将

PA

•

PB

进行合理转化，考查转化思想与辅助角公式的运用，属于中档题．