Question

已知函数.

(1)求f()+f(-)的值;  

(2)当x∈ (其中a∈(0, 1), 且a为常数)时,

f(x)是否存在最小值, 若存在, 求出最小值; 若不存在, 请说明理由.

Answer 1

（1）0，（2）当x∈ (其中a∈(0, 1), 且a为常数)时,

f(x)存在最小值,,且最小值为f(a)= -a+log₂

解析:

（1）f(x)的定义域是(-1, 1),

∵f(-x)=-(-x) +log₂=-(-x+log₂)=- f(x)

∴f(x)为奇函数.     ∴f()+f(-)=0.          ……5分

（直接运算也可以）

 (2)设-1< x₁< x₂ <1, 

∵f(x₂)-f(x₁)= - x₂+ log₂-[- x₁+ log₂]        ……7分

=( x₁- x₂)+ log₂, 

∵x₁- x₂< 0, 1+x₁-x₂- x₁x₂-(1+x₂-x₁- x₁x₂)=2(x₁- x₂)<0, 

∴1+x₁-x₂- x₁x₂< 1+x₂-x₁- x₁x_2.

∴0<<1.

 ∴log₂< 0.

∴f(x₂)-f(x₁) < 0. ∴f(x)在(-1, 1)上单调递减.         ……10分

∴当x∈ (其中a∈(0, 1), 且a为常数)时,

f(x)存在最小值,,且最小值为f(a)= -a+log₂                ……12分