Question

（2012•肇庆二模）数列{a_n}的前n项和记为S_n，a₁=t，点（S_n，a_n+1）在直线y=2x+1上，n∈N^*．
（1）若数列{a_n}是等比数列，求实数t的值；
（2）设b_n=na_n，在（1）的条件下，求数列{b_n}的前n项和T_n；
（3）设各项均不为0的数列{c_n}中，所有满足c_i•c_i+1＜0的整数i的个数称为这个数列{c_n}的“积异号数”，令cn=

bn-4

bn

（n∈N^*），在（2）的条件下，求数列{c_n}的“积异号数”．

Answer 1

分析：（1）根据数列的第n项与前n项和的关系可得n≥2时，有

an+1=2Sn+1 an=2Sn-1+1

，化简得a_n+1=3a_n （n≥2），要使n≥1时{a_n}是等比数列，只需

a2

a1

=

2t+1

t

=3，从而得出t的值．
（2）由（1）得，等比数列{a_n}的首项为a₁=1，公比q=3，故有 an=3n-1，从而得到bn=nan=n•3n-1，用错位相减法求出数列{b_n}的前n项和T_n ．
（3）由条件求得cn=1-

4

bn

，计算可得c₁c₂=-1＜0，再由c_n+1-c_n＞0可得，数列{c_n}递增，由c2=

1

3

＞0，得当n≥2时，c_n＞0，由此求得数列{c_n}的“积异号数”为1．

解答：解：（1）由题意可得，当n≥2时，有

an+1=2Sn+1 an=2Sn-1+1

，（1分）
两式相减，得 a_n+1 -a_n =2a_n，即a_n+1=3a_n （n≥2），（2分）
所以，当n≥2时，{a_n}是等比数列，要使n≥1时{a_n}是等比数列，
则只需

a2

a1

=

2t+1

t

=3，从而得出t=1．（4分）
（2）由（1）得，等比数列{a_n}的首项为a₁=1，公比q=3，∴an=3n-1．（5分）
∴bn=nan=n•3n-1，（6分）
∴Tn=1×30+2×31+3×32+…+(n-1)•3n-2+n•3n-1，①（7分）
上式两边乘以3得3Tn=1×31+2×32+3×33+…+(n-1)•3n-1+n•3n②，（8分）
①-②得-2Tn=30+31+32+…+3n-1-n•3n，（9分）
∴Tn=

2n-1

4

•3n+

1

4

．（10分）
（3）由（2）知bn=n•3n-1，∵cn=1-

4

bn

，
∵c1=1-

4

1

=-3，c2=1-

4

2×3

=

1

3

，∴c₁c₂=-1＜0．（11分）
∵cn+1-cn=

4

bn

-

4

bn+1

=

4(2n+3)

n(n+1)•3n

＞0，∴数列{c_n}递增．（12分）
由c2=

1

3

＞0，得当n≥2时，c_n＞0．（13分）
∴数列{c_n}的“积异号数”为1．（14分）

点评：本题主要考查等比关系的确定，用错位相减法对数列进行求和，数列的第n项与前n项和的关系，数列与函数的综合，属于难题．