Question

如图，圆O₁与圆O₂的半径都是1，|O₁O₂|=4，过动点P分别作圆O₁、圆O₂的切线PM、PN（M、N分别为切点），使得PM=PN,试建立适当的坐标系，并求动点P的轨迹方程.

Answer 1

思路点拨：本题是解析几何中求轨迹方程问题，按求轨迹方程问题的一般方法步骤求解即可.

解：如图，以直线O₁O₂为x轴，线段O₁O₂的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，则两圆心的坐标分别为O₁(-2,0),O₂(2,0).

设P(x,y)，则PM²=PO₁²-MO₁²=(x+2)²+y²-1.

同理,PN²=(x-2)²+y²-1.

PM=PN，即(x+2)²+y²-1=2［(x-2)²+y²-1］，

即x²-12x+y²+3=0，

即(x-6)²+y²=33.这就是动点P的轨迹方程.

[一通百通]本题是考查解析几何中求点的轨迹方程的方法应用，考查建立坐标系、数形结合思想、勾股定理、两点间距离公式等知识内容，及分析推理、计算化简技能、技巧等，是一道很综合的题目.