Question

（2010•天津模拟）若函数y=f（x）在x=x₀处满足关系
（1）f（x）在x=x₀处连续
（2）f（x）在x=x₀处的导数不存在，就称x₀是函数f（x）的一个“折点”．
下列关于“折点”的四个命题
①x=0是y=|x|的折点；
②x=0是y=

1 x ，，x＜0 x-1，x≥0

的折点；
③x=0是y=

-x2+1，x≤0 1，x＞0

的折点；
④x=0是y=

e-x，x＜0 x+1，x≥0

的折点；
其中正确命题的序号是

①④

．

Answer 1

分析：根据新定义可知函数在x=x₀处满足两个关系，在x=x₀处连续与导数不存在，连续性看f（x₀⁺）与f（x₀^-）是否相等，相等则连续，否则不连续，在x=x₀处的导数是否存在看f'（x₀⁺）与f'（x₀^-）是否相等，相等则存在，否则不存在，进行逐一判定即可．

解答：解：①y=|x|在x=0处连续，且f'（0⁺）=1，f'（0^-）=-1，两者不等，则y=|x|在x=0处的导数不存在，故x=0是y=|x|的折点；
②函数y=

1 x ，，x＜0 x-1，x≥0

在x=0处不连续，故x=0不是y=

1 x ，，x＜0 x-1，x≥0

的折点；
③y=

-x2+1，x≤0 1，，x＞0

在x=0处连续，且f'（0⁺）=0，f'（0^-）=0，两者相等，则y=

-x2+1，x≤0 1，，x＞0

在x=0处的导数不存在，故x=0不是y=

-x2+1，x≤0 1，，x＞0

的折点；
④y=

e-x，，x＜0 x+1，x≥0

在x=0处连续，且f'（0⁺）=1，f'（0^-）=-1，两者不等，则y=

e-x，，x＜0 x+1，x≥0

在x=0处的导数不存在，故x=0是y=

e-x，，x＜0 x+1，x≥0

的折点；
故答案为：①④

点评：本题主要考查了函数的连续性，以及函数在某点处导数的存在性，属于中档题．