Question

定长为3的线段AB的两个端点A、B分别在x轴、y轴上滑动，动点P满足

BP

=2

PA

．
（Ⅰ）求点P的轨迹曲线C的方程；
（Ⅱ）若过点（1，0）的直线与曲线C交于M、N两点，求

OM

•

ON

的最大值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题,圆锥曲线的轨迹问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）设A（x₀，0），B（0，y₀），P（x，y），由

BP

=2

PA

得，（x，y-y₀）=2（x₀-x，-y），由此能求出点P的轨迹方程．
（Ⅱ）当过点（1，0）的直线为y=0时，

OM

•

ON

=(2，0)•(-2，0)=-4，当过点（1，0）的直线不为y=0时，可设为x=ty+1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），联立

x2 4 +y2=1 x=ty+1

，化简得：（t²+4）y²+2ty-3=0，由此利用韦达定理、根的判别式、向量的数量积结合已知条件能求出

OM

•

ON

的最大值为

1

4

．

解答： 解：（Ⅰ）设A（x₀，0），B（0，y₀），P（x，y），
由

BP

=2

PA

得，（x，y-y₀）=2（x₀-x，-y），
即

x=2(x0-x) y-y0=-2y

⇒

x0= 3 2 x y0=3y

，（2分）
又因为x02+y02=9，所以（

3

2

x）²+（3y）²=9，
化简得：

x2

4

+y2=1，这就是点P的轨迹方程．（4分）
（Ⅱ）当过点（1，0）的直线为y=0时，

OM

•

ON

=(2，0)•(-2，0)=-4，
当过点（1，0）的直线不为y=0时，可设为x=ty+1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
联立

x2 4 +y2=1 x=ty+1

，化简得：（t²+4）y²+2ty-3=0，
由韦达定理得：y1+y2=-

2t

t2+4

，y1y2=-

3

t2+4

，（6分）

OM • ON =x1x2+y1y2=(ty1+1)(ty2+1)+y1y2=(t2+1)y1y2+t(y1+y2)+1 =(t2+1) -3 t2+4 +t -2t t2+4 +1= -4t2+1 t2+4 = -4(t2+4)+17 t2+4 =-4+ 17 t2+4

又由△=4t²+12（t²+4）=16t²+48＞0恒成立，（10分）
得t∈R，对于上式，当t=0时，(

OM

•

ON

)max=

1

4

综上所述

OM

•

ON

的最大值为

1

4

．…（12分）

点评：本题考查点的轨迹方程的求法，考查向量的数量积的最大值的求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．