Question

13．已知函数f（x）=x²+ax+b（a∈R，b∈R），A={x|x=f（x），x∈R}，B={x|x=f[f（x）]，x∈R}，若A={-1，3}时，用列举法表示集合B．

Answer 1

分析 由A={x|f（x）=x}={x|x²+ax+b=x}={x|x²+（a-1）x+b=0}={-1，3}，结合方程根与系数关系可求a，b，进而可求，f（x），然后代入B={x|f[f（x）]=x}整理可求

解答 解：∵A={x|f（x）=x}={x|x²+ax+b=x}={x|x²+（a-1）x+b=0}={-1，3}
∴-1，3是方程x²+（a-1）x+b=0的根
∴$\left\{\begin{array}{l}{1-a=2}\\{b=-3}\end{array}\right.$，即a=-1，b=-3，
∴f（x）=x²-x-3
∴B={x|f[f（x）]=x}={x|f（x²-x-3）=x}={x|（x²-x-3）²-（x²-x-3）-3=x}
化简可得，（x²-x-3）²-x²=0
∴（x²-3）（x²-2x-3）=0
∴x=$\sqrt{3}$或x=-$\sqrt{3}$或x=3或x=-1
∴B={$\sqrt{3}$，-$\sqrt{3}$，-1，3}．

点评 本题主要考查了二次函数与二次方程之间关系的相互转化，方程的根与系数关系的应用．