Question

（2010•泰安一模）设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，公比是正数的等比数列{b_n}的前n项和为T_n，已知a₁=1，b₁=3，a₂+b₂=8，T₃-S₃=15
（Ⅰ）求{a_n}，{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{c_n}满足a1cn+a2cn-1+…+an-1c2=2n+1-n-2对任意n∈N^*都成立；求证：数列{c_n}是等比数列．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设数列{a_n}的公差为d，数列{b_n}的公比为q（q＞0），列关于d与q的方程组求得d与q，即可求得{a_n}，{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）由c_n+2c_n-1+…+（n-1）c₂+nc₁=2ⁿ⁺¹-n-2向下递推一项可得c_n-1+2c_n-2+…+（n-2）c₂+（n-1）c₁=2ⁿ-（n-1）-2（n≥2），两式相减即可求得c_n=2^n-1（n≥3），再验证n=1，2时的情况即可，符合则合，不符合则分段写．

解答：（Ⅰ）设数列{a_n}的公差为d，数列{b_n}的公比为q（q＞0）
由题意得

d+3q=7 q+q2-d=5

 解得

d=1 q=2

，
∴a_n=n，b_n=3×2^n-1；
（Ⅱ）由c_n+2c_n-1+…+（n-1）c₂+nc₁=2ⁿ⁺¹-n-2
知c_n-1+2c_n-2+…+（n-2）c₂+（n-1）c₁=2ⁿ-（n-1）-2（n≥2）
两式相减：c_n+c_n-1+…+c₂+c₁=2ⁿ-1（n≥2）
∴c_n-1+…+c₂+c₁=2^n-1-1（n≥3）
∴c_n=2^n-1（n≥3）
当n=1，2时，c₁=1，c₂=2，适合上式．
∴c_n=2^n-1（n∈N^*）．
即{c_n}是等比数列

点评：本题考查等差数列与等比数列的通项公式，考查数列的求和，突出考查方程组思想、转化思想与分类讨论思想的综合运用，属于中档题．