Question

某数学老师对本校2013届高三学生的高考数学成绩按1:200进行分层抽样抽取了20名学生的成绩，并用茎叶图记录分数如图所示，但部分数据不小心丢失，同时得到如下所示的频率分布表：

分数段（分）	[50,70)	[70,90)	[90,110)	[110,130)	[130,150)	总计
频数				b
频率	a	0.25

（1）求表中a，b的值及分数在[90,100)范围内的学生人数，并估计这次考试全校学生数学成绩的及格率（分数在[90,150）内为及格）：
（2）从成绩在[100,130)范围内的学生中随机选4人，
设其中成绩在[100,110)内的人数为X，求X的分布列及数学期望.

Answer 1

（1）a=0.1，b=3；4；65%.
（2）分布列为

X	1	2	3	4
P

E(X)=2.2

解析试题分析：（1）由[50,70)范围的频数，计算出该范围内的频率a，首先计算出[70,90)范围内的频数，然后得出[80,90)，即可求出[90,100)范围内的学生人数，计算出[90,100)范围内的学生人数，然后除以20就是及格率.（2）写出随机变量X的所有可能取值，然后计算出相应的概率，列表即可的分布列，最后根据期望值公式计算期望值即可.
试题解析：（1）由茎叶图可知分数在[50,70)范围内的有2人，在[110,130) 范围内的有3人，
∴a= b=3；分数在[70,90)内的人数20×0.25=5，结合茎叶图可得分数在[70,80)内的人数为2，所以分数在[90,100)范围内的学生人数为4，故数学成绩及格的学生为13人，所以估计这次考试全校学生数学成绩的及格率为 ×100%=65%.
（2）由茎叶图可知分数在[100,130)范围内的有7人，分数在[100,110)范围内的有4人，则随机变量X的所有可能取值为1,2,3,4.相应的概率为：P(X=1)== ；P(X=2)== ；P(X=3)==；P(X=4)==.
随机变量X的分布列为

X	1	2	3	4
P

E(X)=1×+2×+3×+4×=2.2
考点：1.茎叶图的含义以及频率和频数的计算；2.随机变量的分布列和数学期望.