Question

已知向量

a

=(sinx，1)，

b

=(sinx，cosx-

9

8

)，设函数f(x)=

a

•

b

，x∈[0，π]
（1）求f（x）的单调区间；
（2）若f（x）=0在区间[0，π]上有两个不同的根α，β，求cos（α+β）的值．

Answer 1

分析：（1）由题意，可先由向量的数量积运算及三角恒等变换，得出f(x)=-(cosx-

1

2

)2+

1

8

，由此函数是一个复合函数，分类讨论cosx的取值范围，利用复合函数的单调性的判断规则判断出单调性区间；
（2）法一：f（x）=0在区间[0，π]上有两个不同的根α，β，可得cos2x-cosx+

1

8

=0有两个根，此两根为cosα，cosβ，由根与系数的关系cosα+cosβ=1，cosα•cosβ=

1

8

，再由由到角三角函数关系，解出sinαsinβ=

17

8

易求cos（α+β）的值；
法二：f（x）=0在区间[0，π]上有两个不同的根α，β，可得cos2x-cosx+

1

8

=0有两个根，此两根为cosα，cosβ，解一元二次方程cos2x-cosx+

1

8

=0可得出cosα，cosβ的值，再解出两角的正弦值，代入cos（α+β）的展开式，即可求cos（α+β）的值

解答：解：（1）∵f(x)=sin2x+cosx-

9

8

=1-cos2x+cosx-

9

8

=-cos2x+cosx-

1

8

∴f(x)=-(cosx-

1

2

)2+

1

8

令t=cosx，
当x∈[0，

π

3

]时，

1

2

≤t≤1，且t=cosx为减函数
又f(t)=-(t-

1

2

)2+

1

8

在[

1

2

，1]上时减函数，
∴f（x）在[0，

π

3

]上是增函数
当x∈[

π

3

，π]时，-1≤t≤

1

2

，且t=cosx为减函数
又f(t)=-(t-

1

2

)2+

1

8

在[-1，

1

2

]上时增函数，
∴f（x）在[

π

3

，π]上是减函数
综上，f（x）的单调区间为[0，

π

3

]，[

π

3

，π]
（2）法一：由f（x）=0得，-cos2x+cosx-

1

8

=0，即cos2x-cosx+

1

8

=0
令t=cosx，则cosα，cosβ是方程t2-t+

1

8

=0的两个根，从而cosα+cosβ=1，cosα•cosβ=

1

8

sin²α•sin²β=（1-cos²α）（1-cos²β）=1-（cos²α+cos²β）+cos²α•cos²β=1-(cosα+cosβ)2+2cosα•cosβ+cos2α•cos2β=

17

64

∴sinαsinβ=

17

8

，
∴cos(α+β)=cosα•cosβ-sinα•sinβ=

1- 17

8

法二：由f（x）=0得，-cos2x+cosx-

1

8

=0，即cos2x-cosx+

1

8

=0
不妨设cosα=

2- 2

4

，cosβ=

2+ 2

4

，
则sinα=

1-cos2α

=

10+4 2

4

，sinβ=

10-4 2

4

，
∴cos(α+β)=cosα•cosβ-sinα•sinβ=

1- 17

8

点评：本题考查平面向量与三角函数的综合题，考查了平面向量的数量积公式，三角函数的复合函数单调性判断，解三角方程，两角和与差的余弦函数，解题的关键是熟练掌握数量积公式及三角恒等变换公式，一元二次方程的解法，根与系数的关系等知训，本题的难点是第一问中对函数单调敬意的求解，由于本题的函数是内层为单调性函数，外层函数不是单调性函数，解题时由外而内，根据外层函数的单调区间确定出内层函数的相应单调区间即可得出复合函数的单调区间，题后注意总结这类题的解题的规律，本题运算量大，综合性强，考查了推理判断的能力及计算能力，分类讨论的思想，方程的思想