Question

函数f（x）=|cosx|-cosx具备的性质有

 

． （将所有符合题意的序号都填上）
（1）f（x）是偶函数；
（2）f（x）是周期函数，且最小正周期为π；
（3）f（x）在[

π

2

，π]上是增加的；
（4）f（x）的最大值为2．

Answer 1

考点：余弦函数的奇偶性

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：由偶函数的定义，即可判断（1）；运用周期函数的定义，结合诱导公式即可判断（2）；
由余弦函数的图象和单调性，即可判断（3）；运用余弦函数的值域和绝对值的定义，即可得到最大值，即可判断（4）．

解答： 解：对于（1），f（-x）=|cos（-x）|-cos（-x）=|cosx|-cosx=f（x），
则f（x）为偶函数．则（1）正确；
对于（2），由f（x+π）=|cos（x+π）|-cos（x+π）=|cosx|+cosx≠f（x），即π不是周期，
由f（x+2π）=|cos（x+2π）|-cos（x+2π）=|cosx|-cosx=f（x），则f（x）为周期函数，
最小正周期为2π．则（2）错误；
对于（3），当x∈[

π

2

，π]时，cosx＜0，即有f（x）=-cosx-cosx=-2cosx，
cosx在[

π

2

，π]上是递减的，则f（x）在[

π

2

，π]上是递增的，则（3）正确；
对于（4），当cosx＞0时，f（x）=0；当cosx＜0时，f（x）=-2cosx，且cosx=-1时，
f（x）取得最大值2．则（4）正确．
故答案为：（1）（3）（4）．

点评：本题考查函数的奇偶性、周期性和单调性的判断和运用，考查最值的求法，考查运算能力，属于基础题．