Question

如图，已知P是单位圆（圆心在坐标原点）上一点，∠xOP=

π

3

，作PM⊥x轴于M，PN⊥y轴于N．
（1）比较|OM|与

π

6

的大小，并说明理由；
（2）∠AOB的两边交矩形OMPN的边于A，B两点，且∠AOB=

π

4

，求

OA

•

OB

的取值范围．

Answer 1

分析：（1）记C（0，1），可求

PC

，|OM|，由|PC|＜

PC

，可得结论；
（2）设∠AOx=α，α∈[0，

π

4

]，P(

1

2

，

3

2

)，记f(α)=

OA

•

OB

，分α∈[0，

π

12

]，α∈(

π

12

，

π

4

]两种情况进行讨论，表示出f（α），根据其单调性及端点处函数值可求得范围；

解答：解：（1）记C（0，1），连接PC，则

PC

=

π

2

-

π

3

=

π

6

，
依题意|OM|=|PN|=cos60°＜|PC|＜

PC

，
∴|OM|＜

π

6

；

（2）设∠AOx=α，α∈[0，

π

4

]，P(

1

2

，

3

2

)，记f(α)=

OA

•

OB

，
①当α∈[0，

π

12

]时，A(

1

2

，

1

2

tanα)，B(

1

2

，

1

2

tan(α+

π

4

))，
∴f(α)=

OA

•

OB

=

1

4

+

1

4

tanα•tan(α+

π

4

)
=

1

4

(1+tanα

1+tanα

1-tanα

)=

1

4

•

1+tan2α

1-tanα

=

1

4

•

1

cosα(cosα-sinα)

=

1

4

•

1

cos2α-cosαsinα

=

1

2

•

1

1+cos2α-sin2α

=

1

2(1+ 2 cos(2α+ π 4 )

；

②当α∈(

π

12

，

π

4

]时，A(

1

2

，

1

2

tanα)，B(

3

2tan(α+ π 4 )

，

3

2

)，
∴f(α)=

OA

•

OB

=

3

4

(

1

tan(α+ π 4 )

+tanα)
=

3

4

(

1-tanα

1+tanα

+tanα)=

3

4

•

1+tan2α

1+tanα

=

3

4

•

1

cosα(cosα+sinα)

=

3

2

•

1

1+cos2α+sin2α

=

3

2

•

1

1+ 2 sin(2α+ π 4 )

；
综上，f(α)=

1 2 • 1 1+ 2 cos(2α+ π 4 ) ，x∈[0， π 12 ] 3 2 • 1 1+ 2 sin(2α+ π 4 ) ，α∈( π 12 ， π 4 ]

，
f（α）在α∈[0，

π

12

]增函数，在α∈(

π

12

，

π

8

]是减函数，在α∈(

π

8

，

π

4

]是增函数，
∵f(0)=

1

4

，f(

π

12

)=

3 -1

2

，f(

π

8

)=

6 - 3

2

，f(

π

4

)=

3

4

，
∴f(α)=

OA

•

OB

∈[

1

4

，

3

4

]．

点评：本题考查三角函数中的恒等变换、平面向量的综合应用，考查分类讨论思想、数形结合思想，考查学生解决问题的能力．