已知y=f(x)(x∈D.D为此函数的定义域)同时满足下列两个条件:①函数f(x)在D内单调递增或单调递减,②如果存在区间[a.b]⊆D.使函数f(x)在区间[a.b]上的值域为[a.b].那么称y=f(x).x∈D为闭函数．请解答以下问题:=1+x-x2是否为闭函数?并说明理由,(2)求证:函数y=-x3为闭函数,(3)若y=k+x是闭函数.求实数k� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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已知y=f（x）（x∈D，D为此函数的定义域）同时满足下列两个条件：①函数f（x）在D内单调递增或单调递减；②如果存在区间[a，b]⊆D，使函数f（x）在区间[a，b]上的值域为[a，b]，那么称y=f（x），x∈D为闭函数．请解答以下问题：
（1）判断函数f（x）=1+x-x²（x∈（0，+∞））是否为闭函数？并说明理由；
（2）求证：函数y=-x³（x∈[-1，1]）为闭函数；
（3）若y=k+

(k＜0)是闭函数，求实数k的取值范围．

分析：（1）可判断函数f（x）在定义域内不单调，由闭函数的定义可作出判断；
（2）按照闭函数的定义只需证明两条：①在定义域内单调；②该函数值域也为[-1，1]；
（3）由y=k+

是（0，+∞）上的增函数，知其符合条件①；
设函数符合条件②的区间为[a，b]，从而有

a=k+

b=k+

，问题转化为方程x=k+

有两个不等非负实根，利用二次方程根的分布知识可得k的限制条件；

解答：解：（1）函数f（x）在区间(-∞，

]上单调递减，在(

，+∞)上单调递增；
所以，函数在定义域上不是单调递增或单调递减函数，从而该函数不是闭函数．
（2）先证y=-x³符合条件①：对于任意x₁，x₂∈[-1，1]，且x₁＜x₂，
有y1-y2=x23-x13=(x2-x1)(x22+x1x2+x12)=(x2-x1)[(x2+

x1)2+

x12]＞0，
∴y₁＞y₂，故y=-x³是R上的减函数．
又因为y=-x³在[-1，1]上的值域是[-1，1]．
所以函数y=-x³（x∈[-1，1]）为闭函数；
（3）易知y=k+

是（0，+∞）上的增函数，符合条件①；
设函数符合条件②的区间为[a，b]，则有

a=k+

b=k+

；
故a，b是x=k+

的两个不等根，即方程组为：

x2-(2k+1)x+k2=0

x≥0

x≥k

有两个不等非负实根；
设x₁，x₂为方程x²-（2k+1）x+k²=0的二根，则

△=(2k+1)2-4k2＞0

x1+x2=2k+1＞0

x1x2=k2≥0

k＜0

，
解得：-

＜k＜0
∴k的取值范围(-

，0)．

点评：本题考查新定义，考查导数知识的运用，解题的关键是理解新定义，并利用新定义求参数的值．

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