Question

如图所示，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，A₁A⊥平面ABC，AB=2BC，
AC=AA₁=

3

BC．
（1）证明：A₁C⊥平面AB₁C₁；
（2）若D是棱CC₁的中点，在棱AB上是否存在一点E，使DE∥平面AB₁C₁？
若存在，请确定点E的位置；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据三边满足勾股定理则△ABC为直角三角形，从而BC⊥AC，又AA₁⊥平面ABC，则AA₁⊥BC，BC⊥CC₁，从而BC⊥面ACC₁A₁，则BC⊥A₁C，则B₁C₁⊥A₁C，因AC=AA₁则侧面ACC₁A₁为正方形，从而AC₁⊥A₁C，又B₁C₁∩AC₁=C₁，根据线面垂直的判定定理可知A1 C⊥面AB₁C₁；
（2）存在点E，且E为AB的中点，取BB₁的中点F，连接DF，则DF∥B₁C₁，因AB的中点为E，连接EF，则EF∥AB₁．B₁C₁与AB₁是相交直线，从而面DEF∥面AB₁C₁，而DE?面DEF，根据线面平行的判定定理可知DE∥面AB₁C₁．

解答：证明：（1）∵AB=2BC，AC=

3

BC，
∴△ABC为直角三角形，且∠ACB=

π

2

．
从而BC⊥AC．又AA₁⊥平面ABC，
∴AA₁⊥BC，∴BC⊥CC₁（2分）
从而BC⊥面ACC₁A₁，∴BC⊥A₁C，
则B₁C₁⊥A₁C（4分）∵AC=AA₁∴侧面ACC₁A₁为正方形，∴AC₁⊥A₁C．
又B₁C₁∩AC₁=C₁，∴A1 C⊥面AB₁C₁（6分）

（2）存在点E，且E为AB的中点（（8分））
下面给出证明：
取BB₁的中点F，连接DF，则DF∥B₁C₁．
∵AB的中点为E，连接EF，则EF∥AB₁．B₁C₁与AB₁是相交直线，∴面DEF∥面AB₁C₁．（10分）
而DE?面DEF，∴DE∥面AB₁C₁（12分）

点评：本题主要考查了直线与平面垂直的判定，以及直线与平面平行的判定，同时考查了化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力，属于中档题．